Obter as soluções gerais das EDO de 1^a ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
u) x^2 y' = y - x y;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem: . Nosso objetivo é encontrar todas as soluções dessa equação e depois verificar se elas realmente funcionam. Para resolver isso, vamos precisar usar o método das equações lineares da primeira ordem e entender um pouquinho sobre fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação com isolado. Para isso, dividimos ambos os lados por :
Isso simplifica para:
Agora, nossa equação está na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Onde:

Passo 3

Como , essa é uma equação linear homogênea. Para resolver, vamos usar o fator integrante. Primeiro, encontramos o integrando:
Vamos calcular a integral:
Então, o fator integrante é:
Como estamos trabalhando com , podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos a EDO original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, isolamos para encontrar a solução geral:
Então, a solução geral da EDO é:

Passo 6

Vamos verificar se nossa solução está correta substituindo e de volta na equação original.
Primeiro, calculamos :
Usando a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Então,
Agora, substituímos e na EDO original:
Substituindo:
Simplificando ambos os lados:
Os dois lados são iguais, o que confirma que nossa solução está correta.

Resposta

A solução geral da EDO é , onde é uma constante arbitrária.

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