Obter as soluções gerais das EDO de 1^{\text {a }} ordem e proceder as verificações dessas soluções, concluindo se a relação ou função encontrada é, de fato, solução da EDO. (Todas são EDO de 1{ }^{\text {a }} ordem separáveis)
\frac{d x}{d y}=\frac{x^{2} y^{2}}{x+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
\frac{dx}{dy} = \frac{x^{2}\,y^{2}}{x+1}
É uma equação separável, pois podemos escrever todos os termos em x de um lado e em y de outro. Vamos usar integração em ambos os lados para encontrar a solução geral.

Passo 2

Separamos as variáveis:
\frac{x+1}{x^{2}}\;dx = y^{2}\;dy.
Note que
\frac{x+1}{x^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}.
Agora integramos cada lado:

Passo 3

Calculemos as integrais:
\int\!\Bigl(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}\Bigr)\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx + \int x^{-2}\,dx = \ln\lvert x\rvert - \frac{1}{x},
\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}.
Assim a igualdade integrada fica
\ln\lvert x\rvert - \frac{1}{x} = \frac{y^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração. Esta é a solução implícita geral.

Passo 4

Para verificar que essa relação resolve a EDO, derivamos ambos os lados em relação a y:
\frac{d}{dy}\Bigl(\ln\lvert x\rvert - \tfrac{1}{x}\Bigr) = \frac{x'}{x} + \frac{x'}{x^{2}} = x'\,\frac{x+1}{x^{2}},
e do lado direito
\frac{d}{dy}\Bigl(\tfrac{y^{3}}{3} + C\Bigr) = y^{2}.
Logo
x'\,\frac{x+1}{x^{2}} = y^{2} \quad\Longrightarrow\quad x' = \frac{dx}{dy} = \frac{x^{2}\,y^{2}}{x+1},
que coincide exatamente com a EDO dada. Logo a solução está verificada.

Resposta

A solução geral implícita é
\boxed{\ln\lvert x\rvert - \frac{1}{x} = \frac{y^{3}}{3} + C.}

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