Obter a transformada inversa de
X(z)=z^-1(1-z^-2)(1+z^-2)^2
usando o método da divisão direta com k=0,1, ldots, 4.

Passo 1

Beleza, a gente tem que achar a transformada inversa de
X(z);=;z^-1l(1 - z^-2r)l(1+z^-2r)^2
Isso é conteúdo de Z-transformada inversa, usando o método de divisão direta (ou “long division” em X(z)=sumk=0^infty x[k],z^-k ).
O que precisamos:
  1. Sair da forma de fração (multiplicar pelo denominador).
  2. Assumir que
  3. Igualar coeficientes de cada potência para resolver para .

Passo 2

Primeiro passo da divisão direta é eliminar o denominador:
l(1+z^-2r)^2 ;X(z) ;=; z^-1 - z^-3
Mas como l(1 + 2z^-2 + z^-4r) sumk=0^infty x[k],z^-k ;=; z^-1 - z^-3 , temos

Passo 3

Agora expandimos o produto à esquerda:
sumk=0^infty x[k],z^-k ;+;2sumk=0^infty x[k],z^-k-2 ;+;sumk=0^infty x[k],z^-k-4 ;=; z^-1 - z^-3
Cada potência desse lado tem que bater com o lado direito. Vamos equacionar coeficiente a coeficiente.

Passo 4

Para x[3] ;+;2,x[1] ;=;-1 Rightarrow x[3] + 2cdot1 = -1 ;Rightarrow;x[3]=-3 temos:
  • m=0: só aparece no primeiro somatório, e do lado direito não há .
    .
  • m=1: aparece só no primeiro somatório, e do lado direito o coeficiente de é 1.
    .
  • m=2: aparece no primeiro somatório e no segundo; do lado direito coeficiente zero.
    .
  • m=3: aparece no primeiro somatório, no segundo, e no terceiro; do lado direito é .
  • m=4: aparece no primeiro, no segundo, no terceiro; do lado direito é 0.
    .

Passo 5

Repetindo rapinho, para x[0]=0, x[1]=1, x[2]=0, x[3]=-3, x[4]=0 encontramos:

Resposta

A sequência inversa (para x[k] = ,0,,1,,0,,-3,,0 ) é

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