Obter a transformada z de
X(s)=s(s+2)^2(s+3)
(a) Pelo método das frações parciais (tabela);
(b) Pelo método dos resíduos (integral de convolução);

Passo 1

Então, o enunciado pede para “obter a transformada inversa de Laplace” (apesar de falar “transformada z”, o que faz sentido aqui é a inversa de Laplace) de
X(s)=s(s+2)^2(s+3)
Estamos na matéria de transformada de Laplace e vamos usar dois jeitos clássicos:
  • frações parciais (com tabela de transformadas conhecidas)
  • método dos resíduos (integral tipo Bromwich)
Para isso você precisa saber como decompor em frações parciais, reconhecer as fórmulas padrão (ex.: , ) e também como calcular resíduos de pólos simples e duplos.

Passo 2

  1. Escrevemos
s(s+2)^2(s+3)=As+2+B(s+2)^2+Cs+3
  1. Multiplicamos tudo por (s+2)^2(s+3):
s = A,(s+2)(s+3)+B,(s+3)+C,(s+2)^2
  1. Expandindo e agrupando em potências de s:
  • coeficiente de s^2: A + C = 0
  • coeficiente de s^1: 5A + 4C + B = 1
  • termo constante: 6A + 4C + 3B = 0
Resolvendo esse sistema dá
A=3, B=-2, C=-3
  1. Logo
X(s)=3s+2-2(s+2)^2-3s+3
  1. Usando a tabela de inversas:
Temos
Laplace^-1tfrac1s+2=e^-2t

Passo 3

A inversa de Laplace pelo contorno de Bromwich diz
Aqui os pólos são x(t)=sumpólos pk ReslX(s)e^st,,s=pkr (ordem 2) e s=-2 (ordem 1).
  1. Pólo simples em s=-3:
  1. Pólo duplo em s=-3:
Fazendo a derivada e avaliando em Ress=-3X(s)e^st =limsto-3(s+3)s(s+2)^2(s+3),e^st =-3(-3+2)^2e^-3t=-3,e^-3t
s=-2
  1. Somando as duas contribuições:
Ress=-2X(s)e^st =limsto-2ddsl[(s+2)^2,s(s+2)^2(s+3),e^str] =limsto-2ddsl[s,e^sts+3r]

Resposta

boxedx(t)=3,e^-2t-2,t,e^-2t-3,e^-3t, t>=0

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