Obter a transformada z de
(a) Pelo método das frações parciais (tabela);
(b) Pelo método dos resíduos (integral de convolução);
(b) Pelo método dos resíduos (integral de convolução);
Passo 1
Então, o enunciado pede para “obter a transformada inversa de Laplace” (apesar de falar “transformada z”, o que faz sentido aqui é a inversa de Laplace) de
Estamos na matéria de transformada de Laplace e vamos usar dois jeitos clássicos:
- frações parciais (com tabela de transformadas conhecidas)
- método dos resíduos (integral tipo Bromwich)
Para isso você precisa saber como decompor em frações parciais, reconhecer as fórmulas padrão (ex.: , ) e também como calcular resíduos de pólos simples e duplos.
Passo 2
- Escrevemos
- Multiplicamos tudo por
:
- Expandindo e agrupando em potências de
:
- coeficiente de
: - coeficiente de
: - termo constante:
Resolvendo esse sistema dá
- Logo
- Usando a tabela de inversas:
Temos
Passo 3
A inversa de Laplace pelo contorno de Bromwich diz
Aqui os pólos são
(ordem 2) e
(ordem 1).
- Pólo simples em
:
- Pólo duplo em
:
Fazendo a derivada e avaliando em
dá
- Somando as duas contribuições: