(1,0) Para se obter um valor de \mathrm{R} \ 31.500,00 ao final de dois(02) anos, sabendo-se que a taxa de juros compostos é deé1,2 %$ a.m., qual o valor inicial a ser investido?

Passo 1

O enunciado pede: dado o montante final de \mathrm{R}\$\,31.500{,}00 ao final de dois anos, com juros compostos de 1{,}2\% ao mês, qual o valor inicial a ser investido?\
Informações relevantes fornecidas:
M=\mathrm{R}\$\,31.500{,}00
\text{taxa mensal } i=1{,}2\% = 0{,}012
\text{tempo } = 2\\ \text{anos} = 24\\ \text{meses} \Rightarrow n=24

Passo 2

Fórmula de juros compostos (explicação didática):
M = P(1+i)^n
onde:
  • M é o montante final (o valor que teremos ao final),
  • P é o capital inicial (o que queremos encontrar),
  • i é a taxa de juros por período (aqui por mês),
  • n é o número de períodos (aqui meses).\
    Essa fórmula vem da ideia de que a cada período os juros são calculados sobre o valor acumulado até então; assim o fator de crescimento por período é (1+i) e, após n períodos, o fator total é (1+i)^n. Exemplo curto: se P=\mathrm{R}\$\,100 e i=0{,}10 (10%) por 2 períodos, então M=100(1{,}10)^2=121.

Passo 3

Isolando P na fórmula para encontrar o capital inicial:
P=\frac{M}{(1+i)^n}.
Vamos aplicar com os valores dados.

Passo 4

Substituindo M, i e n:
P=\frac{\mathrm{R}\$\,31.500{,}00}{(1+0{,}012)^{24}}.
Agora precisamos calcular (1{,}012)^{24}. Vou mostrar o cálculo por potências sucessivas (metodologia que dá para fazer na prova sem calculadora, multiplicando passo a passo).

Passo 5

Cálculo de (1{,}012)^{k} por multiplicações sucessivas (apresento até k=12 e depois elevamos ao quadrado para chegar a 24):
\begin{aligned} (1{,}012)^1 &= 1{,}012,\\[4pt] (1{,}012)^2 &= 1{,}012\times1{,}012 = 1{,}024144,\\[4pt] (1{,}012)^3 &= 1{,}024144\times1{,}012 = 1{,}036433728,\\[4pt] (1{,}012)^4 &= 1{,}036433728\times1{,}012 = 1{,}048870932736,\\[4pt] (1{,}012)^5 &= 1{,}048870932736\times1{,}012 = 1{,}061457384728832,\\[4pt] (1{,}012)^6 &= 1{,}061457384728832\times1{,}012 = 1{,}074194873345577984,\\[4pt] (1{,}012)^7 &= 1{,}087085211825724919808,\\[4pt] (1{,}012)^8 &= 1{,}100130234367633618845696,\\[4pt] (1{,}012)^9 &= 1{,}113331797180045222271844352,\\[4pt] (1{,}012)^{10} &= 1{,}126691778746205764939106484224,\\[4pt] (1{,}012)^{11} &= 1{,}140212080091160234118375762034688,\\[4pt] (1{,}012)^{12} &= 1{,}153894625052254156927796271179708. \end{aligned}
Para obter (1{,}012)^{24} elevamos (1{,}012)^{12} ao quadrado:
(1{,}012)^{24} = \big((1{,}012)^{12}\big)^2 \approx 1{,}1538946250522541569^2 \approx 1{,}3314728061045083.
(Usei a multiplicação por expansão e arredondei apresentando valores suficientes para centavos no resultado final.)]

Passo 6

Agora calculamos P:
P=\frac{\mathrm{R}\$\,31.500{,}00}{1{,}3314728061045083}\approx \mathrm{R}\$\,23.658{,}01.
Como verificação rápida, multiplicando 23.658{,}01\times1{,}331472806 volta aproximadamente a \mathrm{R}\$\,31.500{,}00.

Resposta

\mathrm{R}\$\,23.658{,}01

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