Determine x, y e z de modo que a matriz a seguir seja anti-simétrica
A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -4 & 2 \\ x & 0 & 1-z \\ y & 2 z & 0 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: “Determine x, y e z de modo que a matriz abaixo seja anti-simétrica.” A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix} 0 & -4 & 2 \\\ x & 0 & 1-z \\\ y & 2z & 0 \end{pmatrix}
Informações relevantes dadas pelo enunciado (extraídas diretamente da matriz acima):
a_{12}=-4,\quad a_{13}=2,\quad a_{21}=x,\quad a_{23}=1-z,\quad a_{31}=y,\quad a_{32}=2z.
Não farei nenhuma resolução neste passo; apenas identifiquei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): uma matriz quadrada A=(a_{ij}) é anti-simétrica (ou skew-symmetric) se valerem duas condições:
a_{ii}=0\quad\text{para todo }i
e
a_{ij}=-a_{ji}\quad\text{para todo }i\neq j.
O primeiro item diz que todos os elementos da diagonal principal devem ser zero (no nosso caso já são zero). O segundo item significa que cada entrada acima da diagonal deve ser o negativo da correspondente abaixo da diagonal. Por exemplo, em uma matriz 2\times2,
\begin{pmatrix}0 & a \\\ b & 0\end{pmatrix}
ser anti-simétrica exige b=-a. Aqui vamos aplicar exatamente essa regra às entradas correspondentes da matriz A.

Passo 3

Aplicando a condição a_{ij}=-a_{ji} às três posições acima/abaixo da diagonal, obtemos três equações (cada uma corresponde a um par de entradas simétricas):
a_{21}=-a_{12}
a_{31}=-a_{13}
a_{32}=-a_{23}

Passo 4

Substituindo as entradas conhecidas nas duas primeiras equações:
x=-(-4)
Portanto
x=4.
E
y=-2
pois substituímos a_{31}=y e a_{13}=2 na equação y=-a_{13}, isto é y=-2.

Passo 5

Agora resolvemos a terceira equação. Substituindo a_{32}=2z e a_{23}=1-z em a_{32}=-a_{23} obtemos:
2z=-(1-z)
Agora fazemos a álgebra passo a passo:
2z=-1+z
Subtraindo z de ambos os lados,
z=-1.

Passo 6

Verificação (substituir os valores encontrados na matriz para checar a propriedade): com x=4, y=-2 e z=-1 a matriz fica
A=\begin{pmatrix} 0 & -4 & 2 \\\\ 4 & 0 & 1-(-1) \\\\ -2 & 2(-1) & 0 \end{pmatrix}
Calculando os termos:
1-(-1)=2\quad\text{e}\quad 2(-1)=-2,
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A=\begin{pmatrix} 0 & -4 & 2 \\\\ 4 & 0 & 2 \\\\ -2 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
Agora compare cada par simétrico: a_{21}=4=-(-4)=-a_{12}, a_{31}=-2=-2=-a_{13} e a_{32}=-2=-(2)=-a_{23}. A diagonal já era zero. Portanto a matriz resultante satisfaz a_{ij}=-a_{ji} para todos i,j, ou seja, é de fato anti-simétrica.

Resposta

x=4
y=-2
z=-1

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