(2,0) Em uma determinada data, Henrique recebeu, por serviços prestados a uma empresa, o valor de \mathbf{R} \ 20.000,00 . Gastou37,5 % dessa quantia e o restante aplicou a juros simples, a uma taxa de18 % ao ano. Ao final do periodo de aplicação ele resgatou o montante correspondente deçã\mathrm{R} $14.000,00$. Calcule o período de aplicação.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o período de aplicação (tempo) da quantia que Henrique aplicou. Dados fornecidos:
  • Henrique recebeu \mathrm{R}\$\,20.000,00.
  • Gastou 37,5\% dessa quantia.
  • O restante foi aplicado a juros simples à taxa de 18\% ao ano.
  • Ao final do período de aplicação ele resgatou o montante de \mathrm{R}\$\,14.000,00.

Passo 2

Primeiro vamos descobrir quanto foi efetivamente investido (o principal P).
  • Converter porcentagem em decimal: 37,5\% = 0,375.
  • Valor gasto: 0,375 \times 20.000 = 7.500.
  • Portanto o restante investido é
P = 20.000 - 7.500 = 12.500.
Aqui P é o principal (valor aplicado).

Passo 3

Explico a fórmula dos juros simples que vamos usar. Para juros simples temos a relação entre montante M, principal P, taxa anual i (em decimal) e tempo t (em anos):
M = P\,(1 + i\,t).
Onde:
  • M é o montante resgatado ao final (valor acumulado);
  • P é o principal (valor inicialmente aplicado);
  • i é a taxa por unidade de tempo (aqui em anos ), em forma decimal;
  • t é o tempo de aplicação, em anos.
    Exemplo rápido: se eu aplicar P=100 a i=0,10 por t=2 anos, então M=100(1+0,10\cdot2)=100(1,2)=120.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula aos dados do problema.
  • Montante conhecido: M=14.000.
  • Principal encontrado: P=12.500.
  • Taxa anual: i=18\%=0,18.
Substituindo na fórmula:
14.000 = 12.500\,(1 + 0,18\,t).

Passo 5

Isolamos t passo a passo.
Dividindo ambos os lados por 12.500:
\frac{14.000}{12.500} = 1 + 0,18\,t.
Calculando a divisão:
\frac{14.000}{12.500} = 1,12,
logo
1,12 = 1 + 0,18\,t.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
0,12 = 0,18\,t.
Agora dividimos por 0,18:
t = \frac{0,12}{0,18}.
Convertendo para fração e simplificando:
t = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}\\ \text{anos}.

Passo 6

Converter o tempo de anos para meses para ficar mais intuitivo:
t = \frac{2}{3}\\ \text{anos} = \frac{2}{3}\times 12\\ \text{meses} = 8\\ \text{meses}.

Resposta

t=\dfrac{2}{3} anos = 8 meses.

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