Obtivemos as seguintes medidas experimentais para uma chapa metálica, na qual o comprimento é dado por
, a largura tem o valor
, e a espessura vale
. Examinando os dados, explique se cada afirmação abaixo é correta ou errada, JUSTIFICANDO a sua resposta.
(a) Posso dizer que o comprimento e a largura foram medidos com uma régua milimitrada.
(b) Os valores obtidos para o comprimento e a largura indicam que foram feitas várias medidas, calculando-se o desvio padrão.
(c) O número de algarismos significativos para a medida da largura é 3 e o número de algarismos significativos para a medida do comprimento é 4 .
(d) O valor médio da área da superfície externa é
.
(e) Para medir a espessura foi utilizado um paquímetro.
(f) O valor medido para a espessura indica que pode ter sido feita apenas uma medida com o paquímetro.
(g) A medida da área da superfície da chapa é dada por
.
(h) O volume médio da chapa é dado por
.
(i) O volume dessa chapa é dado pelo valor
.
(j) A propagação de incerteza para o cálculo da incerteza padrão para o volume é dada por
.
(a) Posso dizer que o comprimento e a largura foram medidos com uma régua milimitrada.
(b) Os valores obtidos para o comprimento e a largura indicam que foram feitas várias medidas, calculando-se o desvio padrão.
(c) O número de algarismos significativos para a medida da largura é 3 e o número de algarismos significativos para a medida do comprimento é 4 .
(d) O valor médio da área da superfície externa é
(e) Para medir a espessura foi utilizado um paquímetro.
(f) O valor medido para a espessura indica que pode ter sido feita apenas uma medida com o paquímetro.
(g) A medida da área da superfície da chapa é dada por
(h) O volume médio da chapa é dado por
(i) O volume dessa chapa é dado pelo valor
(j) A propagação de incerteza para o cálculo da incerteza padrão para o volume é dada por
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado nos deu e o que é pedido. Dados experimentais (copiados do enunciado):
As perguntas são as afirmações (a) até (j): para cada uma devo dizer se é correta ou errada e justificar.
Observação numérica útil (vou converter para unidades mais práticas para alguns cálculos):
Também anoto que em mm:
com
;
com
;
com
. A resolução começa agora.
Passo 2
Conceitos básicos que vou usar (bem mastigados):
- Resolução/menor graduação de um instrumento: por exemplo, uma régua milimetrada tem menor graduação
. Quando se reporta incerteza associada à leitura de um instrumento sem repetição, costuma-se atribuir algo como metade da menor graduação ( do menor intervalo) como incerteza padrão tipo B aproximada. - Algarismos significativos: representam a precisão com que o valor foi escrito; o último algarismo indicado é a posição influenciada pela incerteza.
- Propagação de incertezas (método da derivada, para incertezas independentes): se
é função das grandezas medidas, a incerteza padrão em é
Vou aplicar isso para área e volume quando necessário.
Passo 3
Avaliação da afirmação (a): “Posso dizer que o comprimento e a largura foram medidos com uma régua milimitrada.”
Justificação didática e aplicação:
- Uma régua milimetrada tem menor graduação
. Para uma única leitura, uma atribuição típica de incerteza seria (isto é, ou ). - Aqui temos
e . Esses valores são da mesma ordem de magnitude de , ficando um pouco menores. - Porém, obter exatamente esses números pode decorrer de várias situações: (i) medições repetidas com régua e cálculo de desvio padrão; (ii) uso de paquímetro (com resolução melhor) e arredondamento; (iii) convenção de arredondamento da incerteza. Com base só nos números dados não podemos afirmar com certeza qual instrumento foi usado.
Conclusão do passo: A afirmação (a) não pode ser dita com certeza — é plausível, mas não conclusiva.
Passo 4
Avaliação da afirmação (b): “Os valores obtidos para o comprimento e a largura indicam que foram feitas várias medidas, calculando-se o desvio padrão.”
Justificação didática e aplicação:
- Se tivéssemos muitas medidas independentes, a incerteza reportada poderia ser o desvio padrão da média (que tende a diminuir com o número de medidas). Mas a presença de uma incerteza relativamente pequena não prova que existiram várias medidas — pode ser apenas a incerteza tipo B do instrumento ou uma combinação.
- Não há indicação no enunciado de que
e são desvios-padrão amostrais (nenhuma menção a , ou ao símbolo de repetição). Portanto não podemos inferir que foram feitas várias medidas só por causa dos valores dados.
Conclusão do passo: A afirmação (b) é incorreta (não se pode afirmar isso a partir dos dados fornecidos).
Passo 5
Avaliação da afirmação (c): “O número de algarismos significativos para a medida da largura é 3 e o número de algarismos significativos para a medida do comprimento é 4.”
Justificação didática e aplicação:
- A largura foi escrita como
. O número tem três dígitos não-nulos visíveis: . Então tem 3 algarismos significativos. - O comprimento foi escrito como
. O número tem quatro dígitos significativos: (zeros à direita do 1 antes do separador decimal e zeros entre dígitos contam). Então tem 4 algarismos significativos. - Além disso, a última casa apresentada é coerente com a incerteza indicada (a última casa está na centésima parte de
e a incerteza aparece na mesma ordem).
Conclusão do passo: A afirmação (c) é correta.
Passo 6
Avaliação da afirmação (d): “O valor médio da área da superfície externa é
.”
Cálculo detalhado (mostrando contas passo a passo):
- Primeiro calculo os produtos usando as medidas em cm (detalhei isso no Passo 1):
- Soma:
- Área total:
Interpretação e justificativa:
- O valor calculado é
. A afirmação apresentou sem indicar incerteza ou arredondamento. - Se for para reportar o valor médio com coerência com as incertezas, arredondar para
ou depende da incerteza; mas dizer simplesmente como “valor médio” sem justificativa é impreciso (o valor médio exato calculado é ).
Conclusão do passo: A afirmação (d) é incorreta/enganosa — o valor médio correto (produto direto) é cerca de
; escrever apenas
é um arredondamento sem justificativa.
Passo 7
Avaliação da afirmação (e): “Para medir a espessura foi utilizado um paquímetro.”
Justificação didática e aplicação:
- O paquímetro (calibre) costuma ter resolução típica
(em paquímetros analógicos) ou (em digitais). Aqui a espessura foi dada como com . Esses números são compatíveis com leitura por paquímetro. - Contudo, compatibilidade não é prova: uma medição com micrômetro ou várias leituras com régua calibrada também poderiam, em princípio, levar a incertezas similares.
- O enunciado não diz explicitamente qual instrumento foi usado, só nos dá o valor e a incerteza.
Conclusão do passo: A afirmação (e) não pode ser afirmada com certeza — é plausível, mas não comprovada; portanto como afirmação categórica está incorreta (não se pode afirmar com certeza que foi usado o paquímetro).
Passo 8
Avaliação da afirmação (f): “O valor medido para a espessura indica que pode ter sido feita apenas uma medida com o paquímetro.”
Justificação didática e aplicação:
- Se alguém fez apenas uma medição com um paquímetro analógico cuja menor graduação é
, costuma-se atribuir incerteza de cerca de metade da graduação, . O valor apresentado é exatamente esse valor típico. - Logo, o resultado é compatível com a hipótese de uma única leitura com paquímetro (atribuição de incerteza tipo B = metade da graduação). A afirmação usa a expressão “pode ter sido” (possibilidade), não “foi”. Portanto é correta dizer que os dados indicam que isso é possível.
Conclusão do passo: A afirmação (f) é correta (é compatível e portanto possível).
Passo 9
Avaliação da afirmação (g): “A medida da área da superfície da chapa é dada por
.”
Cálculo e propagação (passo a passo):
- Converto a área média calculada no Passo 6 para
:
- Agora calculo a incerteza
por propagação. Já derivei a fórmula (Passo 2). Para temos
Em unidades cm (como em Passo 1):
- Então
Substituindo os valores
Computando cada termo (apenas mostrando resultados):
- Convertendo para
:
- Portanto:
arredondando adequadamente:
Conclusão do passo: A afirmação (g) está correta — o valor e a incerteza dados são compatíveis com a propagação das incertezas.
Passo 10
Avaliação da afirmação (h): “O volume médio da chapa é dado por
.”
Cálculo e interpretação:
- Calculo direto:
- Esse é o produto numérico exato dos valores apresentados, logo como produto aritmético está correto.
- No entanto, como valor médio medido com incertezas, não faz sentido apresentar tantas casas decimais sem considerar a incerteza; o resultado deveria ser arredondado de acordo com
(ver próximo passo). Apresentar sem incerteza é inadequado.
Conclusão do passo: A afirmação (h) é enganosa/incorreta do ponto de vista de relatório de medida (o produto numérico está correto, mas não é correto reportá-lo com tantas casas decimais sem incerteza).
Passo 11
Avaliação da afirmação (i): “O volume dessa chapa é dado pelo valor
.”
Cálculo da incerteza do volume por propagação:
- A fórmula para
(incertezas independentes) é
- Já calculei os produtos em cm no Passo 6:
- Substituindo
, , :
Calculando numericamente:
- Assim o volume devidamente reportado seria, por exemplo,
se arredondarmos o valor médio e a incerteza consistentemente.
Comparação com a afirmação:
- A afirmação dá uma incerteza absurdamente pequena:
, que é várias ordens de magnitude menor que o valor correto . Logo a afirmativa está incorreta.
Conclusão do passo: A afirmação (i) é falsa; a incerteza indicada não é compatível com as incertezas das medidas.
Passo 12
Avaliação da afirmação (j): “A propagação de incerteza para o cálculo da incerteza padrão para o volume é dada por (u(V)= \sqrt{(b c)^{2} u^{2}(a)+(a c)^{2} u^{2}(b)+(a b)^{2} u^{2}(c)}=0,000006\ \mathrm{cm}^{3}.”
Justificação passo a passo:
- A primeira parte (a fórmula) está correta: é exatamente a expressão de propagação para
com incertezas independentes. - A segunda parte (o valor numérico
) está errada — como calculei no Passo 11, o resultado correto é . - Portanto a fórmula é correta, mas a avaliação numérica que acompanha a afirmação está errada por muitos ordens de magnitude.
Conclusão do passo: A afirmação (j) é parcialmente correta (a fórmula) mas, como afirmada inteira (incluindo o número), é incorreta.)
Resposta
(a) Errada\n
(b) Errada\n
(c) Correta\n
(d) Errada\n
(e) Errada\n
(f) Correta\n
(g) Correta\n
(h) Errada\n
(i) Errada\n
(j) Errada
(b) Errada\n
(c) Correta\n
(d) Errada\n
(e) Errada\n
(f) Correta\n
(g) Correta\n
(h) Errada\n
(i) Errada\n
(j) Errada