Obtivemos as seguintes medidas experimentais para uma chapa metálica, na qual o comprimento é dado por a=(10,02 \pm 0,03) \times 10^{-2} \mathrm{~m}, a largura tem o valor b=(5,07 \pm 0,04) \times 10^{-2} \mathrm{~m}, e a espessura vale (8,12 \pm 0,05) \times 10^{-3} \mathrm{~m}. Examinando os dados, explique se cada afirmação abaixo é correta ou errada, JUSTIFICANDO a sua resposta.
(a) Posso dizer que o comprimento e a largura foram medidos com uma régua milimitrada.
(b) Os valores obtidos para o comprimento e a largura indicam que foram feitas várias medidas, calculando-se o desvio padrão.
(c) O número de algarismos significativos para a medida da largura é 3 e o número de algarismos significativos para a medida do comprimento é 4 .
(d) O valor médio da área da superfície externa é S=2(a b+a c+b c)=126 \mathrm{~cm}^{2}.
(e) Para medir a espessura foi utilizado um paquímetro.
(f) O valor medido para a espessura indica que pode ter sido feita apenas uma medida com o paquímetro.
(g) A medida da área da superfície da chapa é dada por A=(1,26 \pm 0,01) \times 10^{-2} \mathrm{~m}^{2}.
(h) O volume médio da chapa é dado por V=a b c=41,2507368 \mathrm{~cm}^{3}.
(i) O volume dessa chapa é dado pelo valor V=(41,2507368 \pm 0,000006) \mathrm{cm}^{3}.
(j) A propagação de incerteza para o cálculo da incerteza padrão para o volume é dada por u(V)= \sqrt{(b c)^{2} u^{2}(a)+(a c)^{2} u^{2}(b)+(a b)^{2} u^{2}\text{(c)}}=0,000006 \mathrm{~cm}^{3}.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado nos deu e o que é pedido. Dados experimentais (copiados do enunciado):
a=(10,02\pm0,03)\times10^{-2}\\ \mathrm{m},
b=(5,07\pm0,04)\times10^{-2}\\ \mathrm{m},
c=(8,12\pm0,05)\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
As perguntas são as afirmações (a) até (j): para cada uma devo dizer se é correta ou errada e justificar.
Observação numérica útil (vou converter para unidades mais práticas para alguns cálculos):
a=10,02\\ \mathrm{cm},\quad u(a)=0,03\\ \mathrm{cm},
b=5,07\\ \mathrm{cm},\quad u(b)=0,04\\ \mathrm{cm},
c=0,812\\ \mathrm{cm},\quad u\text{(c)}=0,005\\ \mathrm{cm}.
Também anoto que em mm: a=100,2\\ \mathrm{mm} com u(a)=0,3\\ \mathrm{mm}; b=50,7\\ \mathrm{mm} com u(b)=0,4\\ \mathrm{mm}; c=8,12\\ \mathrm{mm} com u\text{(c)}=0,05\\ \mathrm{mm}. A resolução começa agora.

Passo 2

Conceitos básicos que vou usar (bem mastigados):
  • Resolução/menor graduação de um instrumento: por exemplo, uma régua milimetrada tem menor graduação 1\\ \mathrm{mm}. Quando se reporta incerteza associada à leitura de um instrumento sem repetição, costuma-se atribuir algo como metade da menor graduação ( \pm 0,5 do menor intervalo) como incerteza padrão tipo B aproximada.
  • Algarismos significativos: representam a precisão com que o valor foi escrito; o último algarismo indicado é a posição influenciada pela incerteza.
  • Propagação de incertezas (método da derivada, para incertezas independentes): se f(x,y,z,\dots) é função das grandezas medidas, a incerteza padrão em f é
u(f)=\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}u^{2}(x)+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}u^{2}(y)+\cdots }.
Vou aplicar isso para área e volume quando necessário.

Passo 3

Avaliação da afirmação (a): “Posso dizer que o comprimento e a largura foram medidos com uma régua milimitrada.”
Justificação didática e aplicação:
  • Uma régua milimetrada tem menor graduação 1\\ \mathrm{mm}. Para uma única leitura, uma atribuição típica de incerteza seria \approx0,5\\ \mathrm{mm} (isto é, 0,05\\ \mathrm{cm} ou 0,0005\\ \mathrm{m}).
  • Aqui temos u(a)=0,03\\ \mathrm{cm}=0,3\\ \mathrm{mm} e u(b)=0,04\\ \mathrm{cm}=0,4\\ \mathrm{mm}. Esses valores são da mesma ordem de magnitude de 0,5\\ \mathrm{mm}, ficando um pouco menores.
  • Porém, obter exatamente esses números pode decorrer de várias situações: (i) medições repetidas com régua e cálculo de desvio padrão; (ii) uso de paquímetro (com resolução melhor) e arredondamento; (iii) convenção de arredondamento da incerteza. Com base só nos números dados não podemos afirmar com certeza qual instrumento foi usado.
Conclusão do passo: A afirmação (a) não pode ser dita com certeza — é plausível, mas não conclusiva.

Passo 4

Avaliação da afirmação (b): “Os valores obtidos para o comprimento e a largura indicam que foram feitas várias medidas, calculando-se o desvio padrão.”
Justificação didática e aplicação:
  • Se tivéssemos muitas medidas independentes, a incerteza reportada poderia ser o desvio padrão da média (que tende a diminuir com o número de medidas). Mas a presença de uma incerteza relativamente pequena não prova que existiram várias medidas — pode ser apenas a incerteza tipo B do instrumento ou uma combinação.
  • Não há indicação no enunciado de que u(a) e u(b) são desvios-padrão amostrais (nenhuma menção a n, ou ao símbolo \sigma de repetição). Portanto não podemos inferir que foram feitas várias medidas só por causa dos valores dados.
Conclusão do passo: A afirmação (b) é incorreta (não se pode afirmar isso a partir dos dados fornecidos).

Passo 5

Avaliação da afirmação (c): “O número de algarismos significativos para a medida da largura é 3 e o número de algarismos significativos para a medida do comprimento é 4.”
Justificação didática e aplicação:
  • A largura foi escrita como b=5,07\times10^{-2}\\ \mathrm{m}. O número 5,07 tem três dígitos não-nulos visíveis: 5,0,7. Então tem 3 algarismos significativos.
  • O comprimento foi escrito como a=10,02\times10^{-2}\\ \mathrm{m}. O número 10,02 tem quatro dígitos significativos: 1,0,0,2 (zeros à direita do 1 antes do separador decimal e zeros entre dígitos contam). Então tem 4 algarismos significativos.
  • Além disso, a última casa apresentada é coerente com a incerteza indicada (a última casa está na centésima parte de 10^{-2}\\ \mathrm{m} e a incerteza aparece na mesma ordem).
Conclusão do passo: A afirmação (c) é correta.

Passo 6

Avaliação da afirmação (d): “O valor médio da área da superfície externa é S=2(ab+ac+bc)=126\\ \mathrm{cm}^{2}.”
Cálculo detalhado (mostrando contas passo a passo):
  • Primeiro calculo os produtos usando as medidas em cm (detalhei isso no Passo 1):
ab=10,02\times5,07=50,8014\\ \mathrm{cm}^{2},
ac=10,02\times0,812=8,13624\\ \mathrm{cm}^{2},
bc=5,07\times0,812=4,11684\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • Soma:
ab+ac+bc=50,8014+8,13624+4,11684=63,05448\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • Área total:
S=2(ab+ac+bc)=2\times63,05448=126,10896\\ \mathrm{cm}^{2}.
Interpretação e justificativa:
  • O valor calculado é 126,10896\\ \mathrm{cm}^{2}. A afirmação apresentou 126\\ \mathrm{cm}^{2} sem indicar incerteza ou arredondamento.
  • Se for para reportar o valor médio com coerência com as incertezas, arredondar para 126,1\\ \mathrm{cm}^{2} ou 126\\ \mathrm{cm}^{2} depende da incerteza; mas dizer simplesmente 126\\ \mathrm{cm}^{2} como “valor médio” sem justificativa é impreciso (o valor médio exato calculado é 126,10896\\ \mathrm{cm}^{2}).
Conclusão do passo: A afirmação (d) é incorreta/enganosa — o valor médio correto (produto direto) é cerca de 126,109\\ \mathrm{cm}^{2}; escrever apenas 126\\ \mathrm{cm}^{2} é um arredondamento sem justificativa.

Passo 7

Avaliação da afirmação (e): “Para medir a espessura foi utilizado um paquímetro.”
Justificação didática e aplicação:
  • O paquímetro (calibre) costuma ter resolução típica 0,05\\ \mathrm{mm} (em paquímetros analógicos) ou 0,01\\ \mathrm{mm} (em digitais). Aqui a espessura foi dada como c=8,12\\ \mathrm{mm} com u\text{(c)}=0,05\\ \mathrm{mm}. Esses números são compatíveis com leitura por paquímetro.
  • Contudo, compatibilidade não é prova: uma medição com micrômetro ou várias leituras com régua calibrada também poderiam, em princípio, levar a incertezas similares.
  • O enunciado não diz explicitamente qual instrumento foi usado, só nos dá o valor e a incerteza.
Conclusão do passo: A afirmação (e) não pode ser afirmada com certeza — é plausível, mas não comprovada; portanto como afirmação categórica está incorreta (não se pode afirmar com certeza que foi usado o paquímetro).

Passo 8

Avaliação da afirmação (f): “O valor medido para a espessura indica que pode ter sido feita apenas uma medida com o paquímetro.”
Justificação didática e aplicação:
  • Se alguém fez apenas uma medição com um paquímetro analógico cuja menor graduação é 0,1\\ \mathrm{mm}, costuma-se atribuir incerteza de cerca de metade da graduação, 0,05\\ \mathrm{mm}. O valor apresentado u\text{(c)}=0,05\\ \mathrm{mm} é exatamente esse valor típico.
  • Logo, o resultado é compatível com a hipótese de uma única leitura com paquímetro (atribuição de incerteza tipo B = metade da graduação). A afirmação usa a expressão “pode ter sido” (possibilidade), não “foi”. Portanto é correta dizer que os dados indicam que isso é possível.
Conclusão do passo: A afirmação (f) é correta (é compatível e portanto possível).

Passo 9

Avaliação da afirmação (g): “A medida da área da superfície da chapa é dada por A=(1,26\pm0,01)\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^{2}.”
Cálculo e propagação (passo a passo):
  • Converto a área média calculada no Passo 6 para \mathrm{m}^{2}:
S=126,10896\\ \mathrm{cm}^{2}=0,012610896\\ \mathrm{m}^{2}=1,2610896\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Agora calculo a incerteza u(S) por propagação. Já derivei a fórmula (Passo 2). Para S=2(ab+ac+bc) temos
\frac{\partial S}{\partial a}=2(b+c),\quad \frac{\partial S}{\partial b}=2(a+c),\quad \frac{\partial S}{\partial c}=2(a+b).
Em unidades cm (como em Passo 1):
b+c=5,07+0,812=5,882\\ \mathrm{cm},
a+c=10,02+0,812=10,832\\ \mathrm{cm},
a+b=10,02+5,07=15,09\\ \mathrm{cm}.
  • Então
u(S)=\sqrt{[2(b+c)]^{2}u^{2}(a)+[2(a+c)]^{2}u^{2}(b)+[2(a+b)]^{2}u^{2}\text{(c)}}.
Substituindo os valores
u(S)\approx\sqrt{(11,764)^{2}(0,03)^{2}+(21,664)^{2}(0,04)^{2}+(30,18)^{2}(0,005)^{2}}\\ \mathrm{cm}^{2}.
Computando cada termo (apenas mostrando resultados):
u(S)\approx0,948\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • Convertendo para \mathrm{m}^{2}:
u(S)=0,948\\ \mathrm{cm}^{2}=9,48\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}=0,00948\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Portanto:
S=(1,2611\pm0,0095)\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^{2},
arredondando adequadamente:
S=(1,26\pm0,01)\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^{2}.
Conclusão do passo: A afirmação (g) está correta — o valor e a incerteza dados são compatíveis com a propagação das incertezas.

Passo 10

Avaliação da afirmação (h): “O volume médio da chapa é dado por V=abc=41,2507368\\ \mathrm{cm}^{3}.”
Cálculo e interpretação:
  • Calculo direto:
V= a b c=10,02\times5,07\times0,812=41,2507368\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • Esse é o produto numérico exato dos valores apresentados, logo como produto aritmético está correto.
  • No entanto, como valor médio medido com incertezas, não faz sentido apresentar tantas casas decimais sem considerar a incerteza; o resultado deveria ser arredondado de acordo com u(V) (ver próximo passo). Apresentar 41,2507368\\ \mathrm{cm}^{3} sem incerteza é inadequado.
Conclusão do passo: A afirmação (h) é enganosa/incorreta do ponto de vista de relatório de medida (o produto numérico está correto, mas não é correto reportá-lo com tantas casas decimais sem incerteza).

Passo 11

Avaliação da afirmação (i): “O volume dessa chapa é dado pelo valor V=(41,2507368\pm0,000006)\\ \mathrm{cm}^{3}.”
Cálculo da incerteza do volume por propagação:
  • A fórmula para V=abc (incertezas independentes) é
u(V)=\sqrt{(b c)^{2}u^{2}(a)+(a c)^{2}u^{2}(b)+(a b)^{2}u^{2}\text{(c)}}.
  • Já calculei os produtos em cm no Passo 6:
ab=50,8014\\ \mathrm{cm}^{2},\quad ac=8,13624\\ \mathrm{cm}^{2},\quad bc=4,11684\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • Substituindo u(a)=0,03\\ \mathrm{cm}, u(b)=0,04\\ \mathrm{cm}, u\text{(c)}=0,005\\ \mathrm{cm}:
u(V)\approx\sqrt{(4,11684)^{2}(0,03)^{2}+(8,13624)^{2}(0,04)^{2}+(50,8014)^{2}(0,005)^{2}}.
Calculando numericamente:
u(V)\approx0,431\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • Assim o volume devidamente reportado seria, por exemplo,
V=(41,25\pm0,43)\\ \mathrm{cm}^{3}
se arredondarmos o valor médio e a incerteza consistentemente.
Comparação com a afirmação:
  • A afirmação dá uma incerteza absurdamente pequena: 0,000006\\ \mathrm{cm}^{3}, que é várias ordens de magnitude menor que o valor correto u(V)\approx0,43\\ \mathrm{cm}^{3}. Logo a afirmativa está incorreta.
Conclusão do passo: A afirmação (i) é falsa; a incerteza indicada não é compatível com as incertezas das medidas.

Passo 12

Avaliação da afirmação (j): “A propagação de incerteza para o cálculo da incerteza padrão para o volume é dada por (u(V)= \sqrt{(b c)^{2} u^{2}(a)+(a c)^{2} u^{2}(b)+(a b)^{2} u^{2}(c)}=0,000006\ \mathrm{cm}^{3}.”
Justificação passo a passo:
  • A primeira parte (a fórmula) está correta: é exatamente a expressão de propagação para V=abc com incertezas independentes.
  • A segunda parte (o valor numérico 0,000006\\ \mathrm{cm}^{3}) está errada — como calculei no Passo 11, o resultado correto é u(V)\approx0,431\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • Portanto a fórmula é correta, mas a avaliação numérica que acompanha a afirmação está errada por muitos ordens de magnitude.
Conclusão do passo: A afirmação (j) é parcialmente correta (a fórmula) mas, como afirmada inteira (incluindo o número), é incorreta.)

Resposta

(a) Errada\n
(b) Errada\n
(c) Correta\n
(d) Errada\n
(e) Errada\n
(f) Correta\n
(g) Correta\n
(h) Errada\n
(i) Errada\n
(j) Errada

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