Obtivemos as seguintes medidas experimentais para uma chapa metálica, na qual o comprimento é dado por a=(10,02 \pm 0,03) \times 10^{-2} \mathrm{~m}, a largura tem o valor b=(5,07 \pm 0,04) \times 10^{-2} \mathrm{~m}, e a espessura vale (8,12 \pm 0,05) \times 10^{-3} \mathrm{~m}. Examinando os dados, explique se cada afirmação abaixo é correta ou errada, JUSTIFICANDO a sua resposta.
(j) A propagação de incerteza para o cálculo da incerteza padrão para o volume é dada por u(V)= \sqrt{(b c)^{2} u^{2}(a)+(a c)^{2} u^{2}(b)+(a b)^{2} u^{2}\text{(c)}}=0,000006 \mathrm{~cm}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes medidas com suas incertezas absolutas:
a=(10,02\pm0,03)\times10^{-2}\\ \mathrm{m},
b=(5,07\pm0,04)\times10^{-2}\\ \mathrm{m},
c=(8,12\pm0,05)\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
A afirmação a ser verificada é: “A propagação de incerteza para o cálculo da incerteza padrão para o volume é dada por
u(V)=\sqrt{(b c)^{2} u^{2}(a)+(a c)^{2} u^{2}(b)+(a b)^{2} u^{2}\text{(c)}}=0,000006\\ \mathrm{cm}^{3}.
O que o exercício pede: determinar se essa afirmação (a fórmula e o valor numérico final) está correta, e justificar.

Passo 2

Explico primeiro o procedimento teórico (a parte didática): para uma grandeza V que é função de variáveis independentes a,b,c, a propagação de incertezas (no caso das incertezas padrão e assumindo variáveis estatisticamente independentes e incertezas pequenas) usa a aproximação linear (expansão em série de Taylor de primeira ordem). A fórmula geral é
u^2(V)=\left(\frac{\partial V}{\partial a}\right)^{2}u^{2}(a)+\left(\frac{\partial V}{\partial b}\right)^{2}u^{2}(b)+\left(\frac{\partial V}{\partial c}\right)^{2}u^{2}\text{(c)},
onde u(a),u(b),u\text{(c)} são as incertezas padrão (absolutas) das variáveis e \partial V/\partial a é a derivada parcial de V em relação a a. Essa fórmula pressupõe que as variáveis são independentes (sem correlação) e que os termos de ordem superior são desprezíveis (incertezas pequenas).

Passo 3

Aplicando ao caso V=a b c:
\frac{\partial V}{\partial a}=b c,\qquad \frac{\partial V}{\partial b}=a c,\qquad \frac{\partial V}{\partial c}=a b.
Substituindo na fórmula de propagação obtemos exatamente
u(V)=\sqrt{(b c)^{2} u^{2}(a)+(a c)^{2} u^{2}(b)+(a b)^{2} u^{2}\text{(c)}}.
Portanto a forma algébrica da expressão dada no enunciado está correta — desde que as hipóteses (variáveis independentes e incertezas pequenas) se apliquem. Agora vamos calcular numericamente para verificar o valor numérico final e as unidades.

Passo 4

Primeiro passo numérico: escrever os valores em SI (metros) e extrair as incertezas absolutas:
a=10{,}02\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=0{,}1002\\ \mathrm{m},\qquad u(a)=0{,}03\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=0{,}0003\\ \mathrm{m},
b=5{,}07\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=0{,}0507\\ \mathrm{m},\qquad u(b)=0{,}04\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=0{,}0004\\ \mathrm{m},
c=8{,}12\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=0{,}00812\\ \mathrm{m},\qquad u\text{(c)}=0{,}05\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=0{,}00005\\ \mathrm{m}.
Calculemos os termos necessários:
b c=0{,}0507\times0{,}00812=0{,}000411684\\ \mathrm{m}^{2},
(a c)=0{,}1002\times0{,}00812=0{,}000813624\\ \mathrm{m}^{2},
(a b)=0{,}1002\times0{,}0507=0{,}00508014\\ \mathrm{m}^{2}.
Agora os termos dentro da raiz (cada um é da forma (\partial V/\partial x)^2 u^2(x)):
(b c)^{2}u^{2}(a)=(0{,}000411684)^{2}\times(0{,}0003)^{2}\approx1{,}5256\times10^{-14}\\ \mathrm{m}^{6},
(a c)^{2}u^{2}(b)=(0{,}000813624)^{2}\times(0{,}0004)^{2}\approx1{,}05917\times10^{-13}\\ \mathrm{m}^{6},
(a b)^{2}u^{2}\text{(c)}=(0{,}00508014)^{2}\times(0{,}00005)^{2}\approx6{,}45245\times10^{-14}\\ \mathrm{m}^{6}.
Somando:
u^{2}(V)\approx1{,}5256\times10^{-14}+1{,}05917\times10^{-13}+6{,}45245\times10^{-14}=1{,}856975\times10^{-13}\\ \mathrm{m}^{6}.

Passo 5

Tirando a raiz quadrada:
u(V)=\sqrt{1{,}856975\times10^{-13}}\\ \mathrm{m}^{3}\approx4{,}31\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^{3}.
Como a unidade do volume em centímetros cúbicos é mais comum aqui, convertemos: 1\\ \mathrm{m}^{3}=10^{6}\\ \mathrm{cm}^{3}, logo
u(V)\approx4{,}31\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^{3}=4{,}31\times10^{-7}\times10^{6}\\ \mathrm{cm}^{3}=0{,}431\\ \mathrm{cm}^{3}.
Note também o volume calculado para ver a ordem de grandeza:
V=a b c=0{,}1002\times0{,}0507\times0{,}00812\\ \mathrm{m}^{3}\approx4{,}125\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{3}=41{,}25\\ \mathrm{cm}^{3},
logo uma incerteza de cerca de 0{,}431\\ \mathrm{cm}^{3} corresponde a um erro relativo de aproximadamente 1\%, o que é perfeitamente plausível dadas as incertezas originais.

Passo 6

Comparação com a afirmação: o enunciado afirma numericamente u(V)=0{,}000006\\ \mathrm{cm}^{3}. Nosso cálculo mostra u(V)\approx0{,}431\\ \mathrm{cm}^{3}. Portanto o número dado no enunciado está bastante incorreto (diferença de alguns ordens de grandeza). A forma algébrica da expressão estava correta, mas o valor numérico final está errado. As causas prováveis de erro numérico típico são: conversão incorreta de unidades (por exemplo, esquecer de multiplicar por 10^{6} ao converter de \mathrm{m}^{3} para \mathrm{cm}^{3}), confundir incertezas relativas com absolutas, ou erros de posição decimal ao calcular os produtos e quadrados.

Resposta

Errada — a fórmula (em forma) está correta, mas o valor numérico está errado; o valor correto é aproximadamente u(V)=0,431\\ \mathrm{cm}^{3}.

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