Obtivemos as seguintes medidas experimentais para uma chapa metálica, na qual o comprimento é dado por
, a largura tem o valor
, e a espessura vale
. Examinando os dados, explique se cada afirmação abaixo é correta ou errada, JUSTIFICANDO a sua resposta.
(j) A propagação de incerteza para o cálculo da incerteza padrão para o volume é dada por
.
(j) A propagação de incerteza para o cálculo da incerteza padrão para o volume é dada por
Passo 1
O enunciado dá as seguintes medidas com suas incertezas absolutas:
A afirmação a ser verificada é: “A propagação de incerteza para o cálculo da incerteza padrão para o volume é dada por
O que o exercício pede: determinar se essa afirmação (a fórmula e o valor numérico final) está correta, e justificar.
Passo 2
Explico primeiro o procedimento teórico (a parte didática): para uma grandeza
que é função de variáveis independentes
, a propagação de incertezas (no caso das incertezas padrão e assumindo variáveis estatisticamente independentes e incertezas pequenas) usa a aproximação linear (expansão em série de Taylor de primeira ordem). A fórmula geral é
onde
são as incertezas padrão (absolutas) das variáveis e
é a derivada parcial de
em relação a
. Essa fórmula pressupõe que as variáveis são independentes (sem correlação) e que os termos de ordem superior são desprezíveis (incertezas pequenas).
Passo 3
Aplicando ao caso
:
Substituindo na fórmula de propagação obtemos exatamente
Portanto a forma algébrica da expressão dada no enunciado está correta — desde que as hipóteses (variáveis independentes e incertezas pequenas) se apliquem. Agora vamos calcular numericamente para verificar o valor numérico final e as unidades.
Passo 4
Primeiro passo numérico: escrever os valores em SI (metros) e extrair as incertezas absolutas:
Calculemos os termos necessários:
Agora os termos dentro da raiz (cada um é da forma
):
Somando:
Passo 5
Tirando a raiz quadrada:
Como a unidade do volume em centímetros cúbicos é mais comum aqui, convertemos:
, logo
Note também o volume calculado para ver a ordem de grandeza:
logo uma incerteza de cerca de
corresponde a um erro relativo de aproximadamente
, o que é perfeitamente plausível dadas as incertezas originais.
Passo 6
Comparação com a afirmação: o enunciado afirma numericamente
. Nosso cálculo mostra
. Portanto o número dado no enunciado está bastante incorreto (diferença de alguns ordens de grandeza). A forma algébrica da expressão estava correta, mas o valor numérico final está errado. As causas prováveis de erro numérico típico são: conversão incorreta de unidades (por exemplo, esquecer de multiplicar por
ao converter de
para
), confundir incertezas relativas com absolutas, ou erros de posição decimal ao calcular os produtos e quadrados.
Resposta
Errada — a fórmula (em forma) está correta, mas o valor numérico está errado; o valor correto é aproximadamente
.