Obtivemos as seguintes medidas experimentais para uma chapa metálica, na qual o comprimento é dado por a=(10,02 \pm 0,03) \times 10^{-2} \mathrm{~m}, a largura tem o valor b=(5,07 \pm 0,04) \times 10^{-2} \mathrm{~m}, e a espessura vale (8,12 \pm 0,05) \times 10^{-3} \mathrm{~m}. Examinando os dados, explique se cada afirmação abaixo é correta ou errada, JUSTIFICANDO a sua resposta.
(i) O volume dessa chapa é dado pelo valor V=(41,2507368 \pm 0,000006) \mathrm{cm}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a afirmação (i) está correta: "O volume dessa chapa é dado pelo valor V=(41,2507368 \pm 0,000006)\,\mathrm{cm}^3".
Dados fornecidos (peguei os valores diretamente do enunciado):
a=(10,02\pm0,03)\times10^{-2}\,\mathrm{m}, \qquad b=(5,07\pm0,04)\times10^{-2}\,\mathrm{m}, \qquad t=(8,12\pm0,05)\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
A tarefa é verificar a corretude do valor central e, principalmente, da incerteza afirmada, justificando.

Passo 2

Primeiro convertamos tudo para centímetros, porque a afirmação dá o volume em \mathrm{cm}^3. Lembre: 1\,\mathrm{m}=100\,\mathrm{cm}. Convertendo o valor central e a incerteza de cada medida:
a = 10{,}02\times10^{-2}\,\mathrm{m} = 0{,}1002\,\mathrm{m}=10{,}02\,\mathrm{cm}, \quad \Delta a = 0{,}03\times10^{-2}\,\mathrm{m}=0{,}0003\,\mathrm{m}=0{,}03\,\mathrm{cm};
b = 5{,}07\times10^{-2}\,\mathrm{m} = 0{,}0507\,\mathrm{m}=5{,}07\,\mathrm{cm}, \quad \Delta b = 0{,}04\times10^{-2}\,\mathrm{m}=0{,}0004\,\mathrm{m}=0{,}04\,\mathrm{cm};
t = 8{,}12\times10^{-3}\,\mathrm{m} = 0{,}00812\,\mathrm{m}=0{,}812\,\mathrm{cm}, \quad \Delta t = 0{,}05\times10^{-3}\,\mathrm{m}=0{,}00005\,\mathrm{m}=0{,}005\,\mathrm{cm}.

Passo 3

Calculemos o valor central do volume pela fórmula do volume de um paralelepípedo:
V = a\cdot b\cdot t.
Substituindo os valores em \mathrm{cm}:
V = 10{,}02\times5{,}07\times0{,}812.
Faço a multiplicação passo a passo:
10{,}02\times5{,}07 = 50{,}8014,
50{,}8014\times0{,}812 = 41{,}2507368.
Portanto o valor central V=41{,}2507368\,\mathrm{cm}^3 bate com o valor central apresentado na afirmação.

Passo 4

Agora a parte crucial: a incerteza do volume. Quando uma grandeza V é produto de medidas independentes a,b,t, a regra prática (propagação de incertezas para produto) diz que as incertezas relativas se combinam por soma em quadratura:
\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2 = \left(\frac{\Delta a}{a}\right)^2 + \left(\frac{\Delta b}{b}\right)^2 + \left(\frac{\Delta t}{t}\right)^2.
Explicando em linguagem simples: cada incerteza é transformada em fração (incerteza relativa); como os erros são independentes, somamos os quadrados dessas frações e então tomamos raiz quadrada para voltar à fração total. Depois multiplicamos pelo valor central V para obter a incerteza absoluta \Delta V.

Passo 5

Calculemos as incertezas relativas numéricas:
\frac{\Delta a}{a}=\frac{0{,}03}{10{,}02}\approx0{,}002994,
\frac{\Delta b}{b}=\frac{0{,}04}{5{,}07}\approx0{,}007889,
\frac{\Delta t}{t}=\frac{0{,}005}{0{,}812}\approx0{,}006157.
Agora quadrados e soma:
\left(\frac{\Delta a}{a}\right)^2\approx8{,}964\times10^{-6}, \quad \left(\frac{\Delta b}{b}\right)^2\approx6{,}223\times10^{-5}, \quad \left(\frac{\Delta t}{t}\right)^2\approx3{,}791\times10^{-5}.
Soma:
\sum \approx 1{,}09104\times10^{-4}.
Raiz quadrada para obter a incerteza relativa do volume:
\frac{\Delta V}{V} \approx \sqrt{1{,}09104\times10^{-4}}\approx0{,}010445\quad(\text{ou }1{,}0445\%).
Portanto a incerteza absoluta:
\Delta V = V\cdot\frac{\Delta V}{V}\approx 41{,}2507368\times0{,}010445 \approx 0{,}4309\,\mathrm{cm}^3.

Passo 6

Arredondamento e apresentação final: regras usualmente aceitas dizem que a incerteza deve ser dada com uma ou duas cifras significativas (muito frequente usar uma cifra significativa, exceto se o primeiro dígito for 1 ou 2, aí pode-se usar duas). Tomando uma cifra significativa para \Delta V, usamos \Delta V\approx0{,}4\,\mathrm{cm}^3. Então o valor central deve ser arredondado na mesma casa decimal, ficando V\approx41{,}3\,\mathrm{cm}^3. Alternativamente, mantendo duas cifras significativas em \Delta V obteríamos \Delta V\approx0{,}43\,\mathrm{cm}^3 e V=(41{,}25\pm0{,}43)\,\mathrm{cm}^3. Em qualquer caso, \Delta V está na ordem de décimos de \mathrm{cm}^3, não em milionésimos.

Passo 7

Conclusão sobre a afirmação (i): o valor central 41{,}2507368\,\mathrm{cm}^3 está correto como produto direto das medidas, mas a incerteza afirmada na hipótese, \pm0{,}000006\,\mathrm{cm}^3, é totalmente impossível dadas as incertezas das medidas iniciais — a incerteza real é cerca de 0{,}43\,\mathrm{cm}^3 (ou 0{,}4\,\mathrm{cm}^3 se arredondarmos para uma cifra). Portanto a afirmação é errada.

Resposta

Errada. Valor correto (com uma cifra significativa na incerteza): V=(41{,}3\pm0{,}4)\,\mathrm{cm}^3.

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