Uma oceanógrafa, com base numa amostra aleatória de tamanho
e ao nível 0,05 de significância, quer testar se a profundidade média do oceano numa determinada área é de 72,4 metros, conforme registrado. O que ele decidiá se obtiver
metros e se puder supor, usando informações de estudos anteriores análogos, que
metros ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma decisão do teste:
- Amostra aleatória de tamanho
. - Nível de significância
. - Hipótese a ser testada: verificar se a profundidade média é
metros (valor registrado). - Média amostral observada
metros. - Pode-se supor, a partir de estudos anteriores, desvio padrão igual a
metros (ou seja, temos uma estimativa confiável do desvio). - Pergunta explícita: o que a pesquisadora decide (rejeitar ou não
) dado esses dados?
Passo 2
Definição das hipóteses do teste (forma padrão quando se quer testar igualdade):
Isto é um teste bicaudal (duas caudas), porque a hipótese alternativa afirma desigualdade. Explicação didática:
é a hipótese de que a média verdadeira é exatamente o valor registrado;
diz que é diferente (pode ser maior ou menor). O nível
será dividido nas duas caudas do teste (cada cauda com área
).
Passo 3
Escolha do procedimento (por que usar o teste z): temos uma estimativa confiável do desvio padrão dada por estudos anteriores (
). Além disso
é razoavelmente grande. Então podemos usar o teste z (teste baseado na distribuição normal) com a fórmula do escore padronizado:
Aqui:
-
é a média amostral ( ), -
é o valor sob ( ), -
é o desvio padrão populacional presumido (aqui usamos ), -
é o tamanho da amostra ( ).
Explicação didática: o numerador mede o deslocamento observado entre média amostral e valor hipotetizado; o denominador () é o erro padrão da média, que ajusta esse deslocamento ao nível de variabilidade esperado em amostras de tamanho .
Passo 4
Calcular o erro padrão da média (SE):
Compute passo a passo:
. Então
Interpretação: em amostras de tamanho
, a média típica varia cerca de
metros devido à dispersão.
Passo 5
Calcular o valor do estatístico
:
Significado: o valor observado da média está cerca de
desvios-padrão acima do valor sob
.
Passo 6
Determinar a regra de decisão com
(teste bicaudal):
- Valores críticos para um teste z bicaudal:
. - Sabemos que
.
Regra: rejeitar
se
.
Aqui
, portanto rejeitamos
.
Explicação didática: como o valor padronizado cai fora da região central de
da distribuição normal, a diferença observada é improvável de ocorrer se a média real fosse
.
Passo 7
Cálculo do p-valor e interpretação adicional:
- Para teste bicaudal,
. - Com
, a cauda superior (tabelas/funcões normais dão aproximadamente esse valor). - Logo
Como
, isso confirma a rejeição de
. Interpretação em linguagem simples: há cerca de
de chance de observar uma média tão distante (ou mais) de
se a média verdadeira fosse realmente
.
Passo 8
Observação prática e alternativa (empática): se alguém preferir usar o teste t por não estar totalmente confortável em afirmar que
é conhecido, com
e
o valor do t seria numérico idêntico (
) e o valor crítico
. Ainda assim
, então a conclusão seria a mesma: rejeitar
. Ou seja, o resultado é robusto — ótimo para ficar mais confiante! Força, você mandou bem em chegar até aqui.
Resposta
Rejeita-se
ao nível
.
,
. Conclusão: há evidências, ao nível de
, de que a profundidade média difere de
m (a amostra sugere valor maior).