Uma oceanógrafa, com base numa amostra aleatória de tamanho n=35 e ao nível 0,05 de significância, quer testar se a profundidade média do oceano numa determinada área é de 72,4 metros, conforme registrado. O que ele decidiá se obtiver x=73,2 metros e se puder supor, usando informações de estudos anteriores análogos, que S=2,1 metros ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma decisão do teste:
  • Amostra aleatória de tamanho n=35.
  • Nível de significância \alpha=0{,}05.
  • Hipótese a ser testada: verificar se a profundidade média é 72{,}4 metros (valor registrado).
  • Média amostral observada \bar{x}=73{,}2 metros.
  • Pode-se supor, a partir de estudos anteriores, desvio padrão igual a S=2{,}1 metros (ou seja, temos uma estimativa confiável do desvio).
  • Pergunta explícita: o que a pesquisadora decide (rejeitar ou não H_0) dado esses dados?

Passo 2

Definição das hipóteses do teste (forma padrão quando se quer testar igualdade):
H_0: \mu = 72{,}4
H_1: \mu \neq 72{,}4
Isto é um teste bicaudal (duas caudas), porque a hipótese alternativa afirma desigualdade. Explicação didática: H_0 é a hipótese de que a média verdadeira é exatamente o valor registrado; H_1 diz que é diferente (pode ser maior ou menor). O nível \alpha=0{,}05 será dividido nas duas caudas do teste (cada cauda com área 0{,}025).

Passo 3

Escolha do procedimento (por que usar o teste z): temos uma estimativa confiável do desvio padrão dada por estudos anteriores ( S=2{,}1). Além disso n=35 é razoavelmente grande. Então podemos usar o teste z (teste baseado na distribuição normal) com a fórmula do escore padronizado:
Z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
Aqui:
  • \bar{x} é a média amostral ( 73{,}2),
  • \mu_0 é o valor sob H_0 ( 72{,}4),
  • \sigma é o desvio padrão populacional presumido (aqui usamos S=2{,}1),
  • n é o tamanho da amostra ( 35).
    Explicação didática: o numerador mede o deslocamento observado entre média amostral e valor hipotetizado; o denominador ( \sigma/\sqrt{n}) é o erro padrão da média, que ajusta esse deslocamento ao nível de variabilidade esperado em amostras de tamanho n.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média (SE):
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{2{,}1}{\sqrt{35}}
Compute passo a passo: \sqrt{35}\approx 5{,}91608. Então
\text{SE}\approx \frac{2{,}1}{5{,}91608}\approx 0{,}35498.
Interpretação: em amostras de tamanho 35, a média típica varia cerca de 0{,}355 metros devido à dispersão.

Passo 5

Calcular o valor do estatístico Z:
Z=\frac{73{,}2-72{,}4}{0{,}35498}=\frac{0{,}8}{0{,}35498}\approx 2{,}2533.
Significado: o valor observado da média está cerca de 2{,}25 desvios-padrão acima do valor sob H_0.

Passo 6

Determinar a regra de decisão com \alpha=0{,}05 (teste bicaudal):
  • Valores críticos para um teste z bicaudal: \pm z_{1-\alpha/2} = \pm z_{0{,}975}.
  • Sabemos que z_{0{,}975}=1{,}96.
Regra: rejeitar H_0 se |Z|>1{,}96.
Aqui |Z|\approx 2{,}2533>1{,}96, portanto rejeitamos H_0.
Explicação didática: como o valor padronizado cai fora da região central de 95\% da distribuição normal, a diferença observada é improvável de ocorrer se a média real fosse 72{,}4.

Passo 7

Cálculo do p-valor e interpretação adicional:
  • Para teste bicaudal, p\text{-valor}=2\left(1-\Phi(|Z|)\right).
  • Com |Z|\approx 2{,}2533, a cauda superior 1-\Phi(2{,}2533)\approx 0{,}01215 (tabelas/funcões normais dão aproximadamente esse valor).
  • Logo
p\text{-valor}\approx 2\times 0{,}01215 \approx 0{,}0243.
Como p\text{-valor}\approx 0{,}0243<\alpha=0{,}05, isso confirma a rejeição de H_0. Interpretação em linguagem simples: há cerca de 2{,}43\% de chance de observar uma média tão distante (ou mais) de 72{,}4 se a média verdadeira fosse realmente 72{,}4.

Passo 8

Observação prática e alternativa (empática): se alguém preferir usar o teste t por não estar totalmente confortável em afirmar que \sigma é conhecido, com s=2{,}1 e df=34 o valor do t seria numérico idêntico ( t\approx 2{,}253) e o valor crítico t_{0{,}975,34}\approx 2{,}032. Ainda assim |t|>2{,}032, então a conclusão seria a mesma: rejeitar H_0. Ou seja, o resultado é robusto — ótimo para ficar mais confiante! Força, você mandou bem em chegar até aqui.

Resposta

Rejeita-se H_0 ao nível \alpha=0{,}05.
Z\approx 2{,}2533, p\text{-valor}\approx 0{,}0243. Conclusão: há evidências, ao nível de 5\%, de que a profundidade média difere de 72{,}4 m (a amostra sugere valor maior).

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