Um fabricante afirma que 90 \% de seus produtos são entregues no prazo. Em uma auditoria de 150 entregas, 130 chegaram no prazo. Teste, ao nível de 1 \%, se a proporção de entregas pontuais difere de 90 \%.

Passo 1

O enunciado pede para testar, ao nível de significância 1\%, se a proporção real de entregas pontuais difere de 90\%. As informações dadas são:
  • Proporção alegada pelo fabricante: \displaystyle p_0 = 0{,}90.
  • Tamanho da amostra: \displaystyle n = 150.
  • Número de entregas pontuais observadas: \displaystyle x = 130.
  • Nível de significância: \displaystyle \alpha = 0{,}01.
    A hipótese alternativa é bilateral (queremos saber se a proporção difere, para mais ou para menos).

Passo 2

Escolha do método: usaremos o teste para proporção com aproximação normal (teste z para uma proporção). Justificativa: quando a amostra é grande e n p_0 e n(1-p_0) não são pequenos, a distribuição amostral de \hat{p} pode ser aproximada por uma normal. Verificamos:
n p_0 = 150 \times 0{,}90 = 135 \quad\text{e}\quad n(1-p_0)=150\times 0{,}10 = 15,
ambos maiores que 5, logo a aproximação normal é válida.
As hipóteses ficam:
H_0:\\ p = p_0 = 0{,}90
H_1:\\ p \neq 0{,}90

Passo 3

Definição e cálculo do estimador de proporção e do erro padrão:
  • Estimador da proporção amostral:
\hat{p}=\frac{x}{n}=\frac{130}{150}= \frac{13}{15}=0{,}866\overline{6}.
  • Erro padrão sob H_0 (usamos p_0 na fórmula):
\text{se}(\hat{p})=\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{\dfrac{0{,}9\cdot 0{,}1}{150}}=\sqrt{\dfrac{0{,}09}{150}}=\sqrt{0{,}0006}\approx 0{,}024495.

Passo 4

Fórmula da estatística de teste e cálculo numérico:
A estatística z é
z=\frac{\hat{p}-p_0}{\text{se}(\hat{p})}.
Substituindo os valores:
\hat{p}-p_0 = 0{,}866\overline{6}-0{,}90 = -0{,}033\overline{3},
z=\frac{-0{,}033\overline{3}}{0{,}024495}\approx -1{,}3608.

Passo 5

Cálculo do p-valor e decisão:
Para teste bilateral, o p-valor é
\text{p-valor}=2\Pr\big(Z\le z\big)=2\Pr\big(Z\le -1{,}3608\big).
Consultando a tabela da Normal padrão (ou usando cálculo), para z=1{,}3608 temos \Pr(Z\le 1{,}3608)\approx 0{,}9131, então \Pr(Z\le -1{,}3608)=1-0{,}9131=0{,}0869. Logo
\text{p-valor}\approx 2\times 0{,}0869 = 0{,}1738 \approx 0{,}174.
Comparação com o nível \alpha=0{,}01: \text{p-valor}=0{,}174 > 0{,}01, portanto não rejeitamos H_0.
Como verificação alternativa, o valor crítico para teste bilateral ao nível \alpha=0{,}01 é z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}995}\approx 2{,}5758. Nosso z calculado (-1{,}3608) está dentro do intervalo (-2{,}5758,\\\ 2{,}5758), confirmando que não rejeitamos H_0.

Passo 6

Interpretação e comentários didáticos:
  • O resultado significa que, com base nesta amostra de 150 entregas (das quais 130 pontuais), não temos evidência estatística suficiente ao nível de 1\% para concluir que a verdadeira proporção de entregas pontuais seja diferente de 90\%.
  • Observação prática: a proporção amostral 86{,}67\% é menor que 90\%, mas a diferença não é grande o suficiente para ser estatisticamente significativa ao nível rigoroso de 1\%. Se o professor usar nível mais permissivo (por exemplo, 5\%), ainda assim o p-valor 0{,}174 é maior que 0{,}05, logo também não seria significativo a 5\%.
  • Pressupostos importantes: amostra aleatória/independente e n suficientemente grande para usar a aproximação normal (já verificados).

Resposta

Não rejeita-se H_0. p-valor \approx 0{,}174. Conclusão: ao nível de 1\%, não há evidência de que a proporção de entregas pontuais difira de 90\%.

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