Um fabricante afirma que
de seus produtos são entregues no prazo. Em uma auditoria de 150 entregas, 130 chegaram no prazo. Teste, ao nível de
, se a proporção de entregas pontuais difere de
.
Passo 1
O enunciado pede para testar, ao nível de significância
, se a proporção real de entregas pontuais difere de
. As informações dadas são:
- Proporção alegada pelo fabricante:
. - Tamanho da amostra:
. - Número de entregas pontuais observadas:
. - Nível de significância:
.
A hipótese alternativa é bilateral (queremos saber se a proporção difere, para mais ou para menos).
Passo 2
Escolha do método: usaremos o teste para proporção com aproximação normal (teste
para uma proporção). Justificativa: quando a amostra é grande e
e
não são pequenos, a distribuição amostral de
pode ser aproximada por uma normal. Verificamos:
ambos maiores que 5, logo a aproximação normal é válida.
As hipóteses ficam:
Passo 3
Definição e cálculo do estimador de proporção e do erro padrão:
- Estimador da proporção amostral:
- Erro padrão sob
(usamos na fórmula):
Passo 4
Fórmula da estatística de teste e cálculo numérico:
A estatística é
A estatística
Substituindo os valores:
Passo 5
Cálculo do p-valor e decisão:
Para teste bilateral, o p-valor é
Para teste bilateral, o p-valor é
Consultando a tabela da Normal padrão (ou usando cálculo), para
temos
, então
. Logo
Comparação com o nível
:
, portanto não rejeitamos
.
Como verificação alternativa, o valor crítico para teste bilateral ao nível
é
. Nosso
calculado
está dentro do intervalo
, confirmando que não rejeitamos
.
Passo 6
Interpretação e comentários didáticos:
- O resultado significa que, com base nesta amostra de
entregas (das quais pontuais), não temos evidência estatística suficiente ao nível de para concluir que a verdadeira proporção de entregas pontuais seja diferente de . - Observação prática: a proporção amostral
é menor que , mas a diferença não é grande o suficiente para ser estatisticamente significativa ao nível rigoroso de . Se o professor usar nível mais permissivo (por exemplo, ), ainda assim o p-valor é maior que , logo também não seria significativo a . - Pressupostos importantes: amostra aleatória/independente e
suficientemente grande para usar a aproximação normal (já verificados).
Resposta
Não rejeita-se
. p-valor
. Conclusão: ao nível de
, não há evidência de que a proporção de entregas pontuais difira de
.