Uma clínica afirma que 85 \% dos pacientes ficam satisfeitos com o atendimento. Em uma pesquisa com 100 pacientes, 78 relataram satisfação. Teste, ao nível de 5 \%, se a proporção é realmente maior ou igual a 85 \%.

Passo 1

O enunciado dá uma afirmação da clínica e os dados da amostra. Vamos listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
  • Informação dada:
    • A clínica afirma que 85\% dos pacientes ficam satisfeitos.
    • Em uma amostra de 100 pacientes, 78 relataram satisfação.
  • Pergunta pedida:
    • Testar, ao nível de significância de 5\%, se a proporção verdadeira de pacientes satisfeitos é realmente maior ou igual a 85\%.

Passo 2

Definimos as hipóteses do teste (atenção: o enunciado quer testar se a proporção é maior ou igual a 85\%, então a hipótese alternativa é o contrário, que a proporção é menor que 85\%).
  • Hipótese nula: H_0:\; p \ge 0,85
  • Hipótese alternativa: H_1:\; p < 0,85
Aqui p é a proporção verdadeira de pacientes satisfeitos na população. Este é um teste unilateral à esquerda.

Passo 3

Verificamos as condições para usar a aproximação normal (teste-z para proporção). A aproximação normal é razoável quando n p_0 \ge 5 e n (1-p_0) \ge 5, onde p_0 é a proporção sob H_0.
  • Calculamos: n p_0 = 100 \cdot 0,85 = 85 \ge 5,
n (1-p_0) = 100 \cdot 0,15 = 15 \ge 5.
Portanto, a aproximação normal é adequada e podemos usar o teste-z para proporção.

Passo 4

Calculamos a proporção amostral \hat{p}.
  • Dados da amostra: 78 satisfeitos em n=100.
  • Assim: \hat{p} = \frac{78}{100} = 0,78.

Passo 5

Apresentamos a estatística de teste para proporção e explicamos cada termo. Para testar H_0\!:\;p=p_0 usamos
z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}.
Explicação das partes:
  • \hat{p} é a proporção observada na amostra;
  • p_0 é a proporção sob H_0 (aqui p_0=0,85);
  • o denominador \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} é o erro padrão da proporção assumindo H_0.
Usamos p_0 no erro padrão porque estamos calculando a variabilidade esperada quando H_0 é verdadeira.

Passo 6

Substituímos os números na fórmula e calculamos o erro padrão com cuidado.
  • Primeiro calculemos p_0(1-p_0): p_0(1-p_0)=0,85\cdot 0,15=0,1275.
  • Dividindo por n: \frac{p_0(1-p_0)}{n}=\frac{0,1275}{100}=0,001275.
  • O erro padrão (raiz) é: \sqrt{0,001275}\approx 0,035707\;.

Passo 7

Agora calculamos o valor de z.
  • Diferença entre a proporção amostral e p_0: \hat{p}-p_0 = 0,78-0,85 = -0,07.
  • Estatística de teste: z=\frac{-0,07}{0,035707}\approx -1,9601.

Passo 8

Determinar a regra de decisão para nível de significância \alpha=0,05. Como o teste é unilateral à esquerda, o valor crítico é o quantil da normal padrão correspondente a área \alpha à esquerda.
  • Valor crítico: z_{\alpha} = z_{0,05} \approx -1,645.
  • Regra: rejeitar H_0 se z < z_{0,05}.

Passo 9

Comparação e decisão.
  • Nosso z\approx -1,9601 e o crítico é -1,645.
  • Como -1,9601 < -1,645, caímos na região de rejeição.
  • Conclusão: rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0,05.

Passo 10

Cálculo do p-valor (opcional, mas útil para interpretação). Para um teste à esquerda,
\text{p-valor} = P(Z\le z_{\text{obs}}) = P(Z\le -1,9601)\approx 0,025.
Como \text{p-valor}\approx 0,025 < 0,05, isso confirma a decisão de rejeitar H_0.

Passo 11

Interpretação final e dica de como responder na prova (passo a passo resumido que você pode repetir na hora da prova):
  • Escreva as hipóteses claramente ( H_0:\;p\ge 0,85 e H_1:\;p<0,85).
  • Verifique condições ( n p_0 e n(1-p_0)).
  • Calcule \hat{p}.
  • Calcule o erro padrão usando p_0: \sqrt{p_0(1-p_0)/n}.
  • Calcule z e compare com o valor crítico para \alpha ou calcule o p-valor.
  • Conclua com base na comparação e interprete em palavras (por exemplo, “há evidência de que a proporção é menor que 85\%”).
  • No seu caso, explique que a amostra de 100 mostrou 78 satisfeitos e que isso é suficiente para rejeitar a afirmação da clínica ao nível 5\%.

Resposta

Rejeita-se H_0 ao nível de 5\%. Conclusão: há evidências, ao nível de 5\%, de que a proporção verdadeira de pacientes satisfeitos é menor do que 85\%.

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