Uma clínica afirma que
dos pacientes ficam satisfeitos com o atendimento. Em uma pesquisa com 100 pacientes, 78 relataram satisfação. Teste, ao nível de
, se a proporção é realmente maior ou igual a
.
Passo 1
O enunciado dá uma afirmação da clínica e os dados da amostra. Vamos listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
- Informação dada:
- A clínica afirma que
dos pacientes ficam satisfeitos. - Em uma amostra de
pacientes, relataram satisfação.
- A clínica afirma que
- Pergunta pedida:
- Testar, ao nível de significância de
, se a proporção verdadeira de pacientes satisfeitos é realmente maior ou igual a .
- Testar, ao nível de significância de
Passo 2
Definimos as hipóteses do teste (atenção: o enunciado quer testar se a proporção é maior ou igual a
, então a hipótese alternativa é o contrário, que a proporção é menor que
).
- Hipótese nula:
- Hipótese alternativa:
Aqui
é a proporção verdadeira de pacientes satisfeitos na população. Este é um teste unilateral à esquerda.
Passo 3
Verificamos as condições para usar a aproximação normal (teste-z para proporção). A aproximação normal é razoável quando
e
, onde
é a proporção sob
.
- Calculamos:
Portanto, a aproximação normal é adequada e podemos usar o teste-z para proporção.
Passo 4
Calculamos a proporção amostral
.
- Dados da amostra:
satisfeitos em . - Assim:
Passo 5
Apresentamos a estatística de teste para proporção e explicamos cada termo. Para testar
usamos
Explicação das partes:
-
é a proporção observada na amostra; -
é a proporção sob (aqui ); - o denominador
é o erro padrão da proporção assumindo .
Usamos
no erro padrão porque estamos calculando a variabilidade esperada quando
é verdadeira.
Passo 6
Substituímos os números na fórmula e calculamos o erro padrão com cuidado.
- Primeiro calculemos
: - Dividindo por
: - O erro padrão (raiz) é:
Passo 7
Agora calculamos o valor de
.
- Diferença entre a proporção amostral e
: - Estatística de teste:
Passo 8
Determinar a regra de decisão para nível de significância
. Como o teste é unilateral à esquerda, o valor crítico é o quantil da normal padrão correspondente a área
à esquerda.
- Valor crítico:
- Regra: rejeitar
se .
Passo 9
Comparação e decisão.
- Nosso
e o crítico é . - Como
, caímos na região de rejeição. - Conclusão: rejeitamos
ao nível .
Passo 10
Cálculo do p-valor (opcional, mas útil para interpretação). Para um teste à esquerda,
Como
, isso confirma a decisão de rejeitar
.
Passo 11
Interpretação final e dica de como responder na prova (passo a passo resumido que você pode repetir na hora da prova):
- Escreva as hipóteses claramente (
e ). - Verifique condições (
e ). - Calcule
. - Calcule o erro padrão usando
: . - Calcule
e compare com o valor crítico para ou calcule o p-valor. - Conclua com base na comparação e interprete em palavras (por exemplo, “há evidência de que a proporção é menor que
”). - No seu caso, explique que a amostra de
mostrou satisfeitos e que isso é suficiente para rejeitar a afirmação da clínica ao nível .
Resposta
Rejeita-se
ao nível de
. Conclusão: há evidências, ao nível de
, de que a proporção verdadeira de pacientes satisfeitos é menor do que
.