Ocorrem, em média, 10 desintegrações por minuto numa amostra de material radioativo. Suponhamos que o número, X, de desintegrações por minuto seja uma variável aleatória de Poisson e que T seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrações sucessivas.
(a) Forneça a expressão matemática da função de densidade de T;
(b) Qual é a probabilidade de que em um intervalo de tempo de 6 segundos não haja desintegrações?
(c) Suponha que foram testadas independentemente 30 destas amostras e seja N o número de amostras para as quais não houve desintegração antes de 6 segundos. Forneça a expressão matemática da função de probabilidade de N , a esperança de N , a variância de N . Calcule também, usando a aproximação pela lei Normal, \mathrm{P}(\mathrm{N} \geq 9).
Obs.: Lembre-se de que existe uma relação entre os modelos de Poisson e Exponencial.

Passo 1

O enunciado e os dados que temos (sem resolver ainda):
  • Em média ocorrem 10 desintegrações por minuto na amostra.
  • X = número de desintegrações por minuto é assumido como Poisson.
  • T = intervalo de tempo (em minutos) entre duas desintegrações sucessivas.
  • Perguntas:
    (a) fornecer a expressão matemática da função de densidade de T;
    (b) calcular a probabilidade de que, em um intervalo de tempo de 6 segundos, não haja desintegrações;
    (c) supondo que foram testadas independentemente 30 dessas amostras e N é o número de amostras para as quais não houve desintegração antes de 6 segundos: fornecer a função de probabilidade de N, a esperança de N, a variância de N e calcular, pela aproximação Normal, \mathrm{P}(N\ge 9).
Nota útil que já vou usar: 6 segundos correspondem a 6/60=0,1 minutos.

Passo 2

Lembrando a relação entre Poisson e Exponencial (explicação didática):
  • Se os eventos (desintegrações) seguem um processo de Poisson com taxa média \lambda por unidade de tempo, então o número de eventos em um intervalo de comprimento t tem distribuição \mathrm{Poisson}(\lambda t).
  • A variável T (tempo até a próxima desintegração) tem distribuição Exponencial com parâmetro \lambda. Intuição: a probabilidade de que a primeira desintegração ocorra após t minutos é a probabilidade de que haja zero eventos no intervalo de comprimento t, ou seja P(T>t)=P(X=0\\ \text{em intervalo }t).
  • Para \mathrm{Poisson}(\lambda t), P(X=0)=e^{-\lambda t}. Portanto a função sobrevivência de T é
P(T>t)=e^{-\lambda t}.
  • A função densidade de probabilidade (pdf) de T é a derivada negativa da sobrevivência:
f_T(t) = \lambda e^{-\lambda t},\quad t\ge 0.
Aqui \lambda é a taxa média de eventos por unidade de tempo (aqui por minuto). No nosso caso \lambda=10 (por minuto).

Passo 3

Resposta formal para (a) — escrevendo claramente a densidade:
f_T(t)=\lambda e^{-\lambda t},\qquad t\ge 0,
com \lambda=10. Ou seja,
f_T(t)=10\,e^{-10 t},\qquad t\ge 0.
Explicação curta: \lambda é a taxa (10 desintegrações por minuto), t está em minutos; a densidade exponencial dá a probabilidade por unidade de tempo de a desintegração ocorrer exatamente naquele instante.

Passo 4

Resolver (b) usando a relação exponencial/Poisson (passo a passo):
  • Queremos P(\text{nenhuma desintegração em }6\\ \text{segundos})çã.
  • Convertemos para minutos: 6\\ \text{s}=0,1\\ \text{min}.
  • Usando a interpretação via Poisson: P(\text{0 eventos em }t)=e^{-\lambda t}.
  • Com \lambda=10 e t=0,1,
P(\text{nenhuma em }6\\ \text{s})=e^{-10\cdot 0,1}=e^{-1}.
  • Valor numérico aproximado:
e^{-1}\approx 0,3678794412\\ (\text{aprox. }0,3679).

Passo 5

Começando (c): modelagem de N e função de probabilidade
  • Cada amostra dá um evento (sucesso) “não houve desintegração antes de 6 s”. Para uma amostra, a probabilidade desse sucesso é p=P(\text{nenhuma em }6\\ \text{s})=e^{-1}.
  • Testes são independentes (dado no enunciado), logo N = número de sucessos em n=30 tentativas segue uma distribuição Binomial:
N\sim \mathrm{Binomial}(n=30,\;p=e^{-1}).
  • A função de probabilidade é, para k=0,1,\dots,30,
P(N=k)=\binom{30}{k}\,p^{k}(1-p)^{30-k},\qquad p=e^{-1}.

Passo 6

Esperança e variância de N (fórmulas e cálculo):
  • Fórmulas para Binomial:
\mathbb{E}[N]=np,\qquad \mathrm{Var}(N)=np(1-p).
  • Substituindo n=30 e p=e^{-1}:
p=e^{-1}\approx 0,36787944117144233,
\mathbb{E}[N]=30\cdot e^{-1}\approx 11,03638323514327,
\mathrm{Var}(N)=30\cdot e^{-1}\cdot(1-e^{-1})\approx 6,976324738044889.
  • Valores arredondados práticos: \mathbb{E}[N]\approx 11,0364 e \mathrm{Var}(N)\approx 6,9763.

Passo 7

Aproximação Normal para P(N\ge 9) (explicando a técnica):
  • Quando n é moderadamente grande e não se tem p extremamente pequeno ou grande, a binomial pode ser aproximada por uma Normal N(np,np(1-p)).
  • Usar correção de continuidade para melhorar a aproximação: \;P(N\ge 9)=1-P(N\le 8)\approx 1-\Phi\!\bigg(\dfrac{8+0,5-\mu}{\sigma}\bigg), onde \mu=np e \sigma=\sqrt{np(1-p)}.
  • Aqui \mu\approx 11,0363832351 e \sigma=\sqrt{6,9763247380}\approx 2,641273.

Passo 8

Cálculo do z-score e da probabilidade aproximada:
  • Calcular o z-valor:
z=\frac{8,5-\mu}{\sigma}=\frac{8,5-11,03638323514327}{2,641273}\approx -0,96004.
  • Então
P(N\ge 9)\approx 1-\Phi(z)=1-\Phi(-0,96004)=\Phi(0,96004)\approx 0,83147.
  • Portanto, usando a aproximação Normal com correção de continuidade:
P(N\ge 9)\approx 0,8315\\ (\text{aprox. }83{,}15\%).

Resposta

(a) f_T(t)=10\,e^{-10 t},\\ t\ge 0.
(b) P(\text{nenhuma em }6\\ \text{s})=e^{-1}\approx 0,3678794412.
(c) N\sim\mathrm{Binomial}\big(30,p=e^{-1}\big) com
P(N=k)=\binom{30}{k}\,p^{k}(1-p)^{30-k},\quad p=e^{-1}.
\mathbb{E}[N]=30e^{-1}\approx 11{,}0363832351.
\mathrm{Var}(N)=30e^{-1}(1-e^{-1})\approx 6{,}9763247380.
Pela aproximação Normal com correção de continuidade,
\displaystyle P(N\ge 9)\approx 0{,}8315.

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