Ocorrem, em média, 10 desintegrações por minuto numa amostra de material radioativo. Suponhamos que o número,
, de desintegrações por minuto seja uma variável aleatória de Poisson e que T seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrações sucessivas.
(a) Forneça a expressão matemática da função de densidade de T;
(b) Qual é a probabilidade de que em um intervalo de tempo de 6 segundos não haja desintegrações?
(c) Suponha que foram testadas independentemente 30 destas amostras e seja N o número de amostras para as quais não houve desintegração antes de 6 segundos. Forneça a expressão matemática da função de probabilidade de N , a esperança de N , a variância de N . Calcule também, usando a aproximação pela lei Normal,
.
Obs.: Lembre-se de que existe uma relação entre os modelos de Poisson e Exponencial.
(a) Forneça a expressão matemática da função de densidade de T;
(b) Qual é a probabilidade de que em um intervalo de tempo de 6 segundos não haja desintegrações?
(c) Suponha que foram testadas independentemente 30 destas amostras e seja N o número de amostras para as quais não houve desintegração antes de 6 segundos. Forneça a expressão matemática da função de probabilidade de N , a esperança de N , a variância de N . Calcule também, usando a aproximação pela lei Normal,
Passo 1
O enunciado e os dados que temos (sem resolver ainda):
- Em média ocorrem
desintegrações por minuto na amostra. -
= número de desintegrações por minuto é assumido como Poisson. -
= intervalo de tempo (em minutos) entre duas desintegrações sucessivas. - Perguntas:
(a) fornecer a expressão matemática da função de densidade de;
(b) calcular a probabilidade de que, em um intervalo de tempo desegundos, não haja desintegrações;
(c) supondo que foram testadas independentementedessas amostras e é o número de amostras para as quais não houve desintegração antes de segundos: fornecer a função de probabilidade de , a esperança de , a variância de e calcular, pela aproximação Normal, .
Nota útil que já vou usar:
segundos correspondem a
minutos.
Passo 2
Lembrando a relação entre Poisson e Exponencial (explicação didática):
- Se os eventos (desintegrações) seguem um processo de Poisson com taxa média
por unidade de tempo, então o número de eventos em um intervalo de comprimento tem distribuição . - A variável
(tempo até a próxima desintegração) tem distribuição Exponencial com parâmetro . Intuição: a probabilidade de que a primeira desintegração ocorra após minutos é a probabilidade de que haja zero eventos no intervalo de comprimento , ou seja . - Para
, . Portanto a função sobrevivência de é
- A função densidade de probabilidade (pdf) de
é a derivada negativa da sobrevivência:
Aqui
é a taxa média de eventos por unidade de tempo (aqui por minuto). No nosso caso
(por minuto).
Passo 3
Resposta formal para (a) — escrevendo claramente a densidade:
com
. Ou seja,
Explicação curta:
é a taxa (10 desintegrações por minuto),
está em minutos; a densidade exponencial dá a probabilidade por unidade de tempo de a desintegração ocorrer exatamente naquele instante.
Passo 4
Resolver (b) usando a relação exponencial/Poisson (passo a passo):
- Queremos
. - Convertemos para minutos:
. - Usando a interpretação via Poisson:
. - Com
e ,
- Valor numérico aproximado:
Passo 5
Começando (c): modelagem de
e função de probabilidade
- Cada amostra dá um evento (sucesso) “não houve desintegração antes de 6 s”. Para uma amostra, a probabilidade desse sucesso é
. - Testes são independentes (dado no enunciado), logo
= número de sucessos em tentativas segue uma distribuição Binomial:
- A função de probabilidade é, para
,
Passo 6
Esperança e variância de
(fórmulas e cálculo):
- Fórmulas para Binomial:
- Substituindo
e :
- Valores arredondados práticos:
e .
Passo 7
Aproximação Normal para
(explicando a técnica):
- Quando
é moderadamente grande e não se tem extremamente pequeno ou grande, a binomial pode ser aproximada por uma Normal . - Usar correção de continuidade para melhorar a aproximação:
, onde e . - Aqui
e .
Passo 8
Cálculo do
-score e da probabilidade aproximada:
- Calcular o
-valor:
- Então
- Portanto, usando a aproximação Normal com correção de continuidade:
Resposta
(a)
(b)
(c) com
(b)
(c)
Pela aproximação Normal com correção de continuidade,