A seguinte distribuição de frequências nos mostra as terras cultivadas dos sítios e fazendas de uma determinada região, em hectare.
Classe
Frequência
[2,8[
10
[8, 14[
9
[14, 20[
21
[20, 26[
7
[26, 32[
3
Nessas condições, determine:
a) A média aritmética;
b) O desvio padrão e a variância;
c) O coeficiente de variação.
d) A amplitude total.
| Classe | Frequência |
| [2,8[ | 10 |
| [8, 14[ | 9 |
| [14, 20[ | 21 |
| [20, 26[ | 7 |
| [26, 32[ | 3 |
a) A média aritmética;
b) O desvio padrão e a variância;
c) O coeficiente de variação.
d) A amplitude total.
Passo 1
O enunciado fornece uma distribuição de frequências por classes (em hectares) e pede quatro coisas. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido.
Dados (peguei tudo do enunciado):
- Classes e suas frequências:
-
com frequência . -
com frequência . -
com frequência . -
com frequência . -
com frequência .
-
O que o enunciado pede:
a) A média aritmética;
b) O desvio padrão e a variância;
c) O coeficiente de variação;
d) A amplitude total.
a) A média aritmética;
b) O desvio padrão e a variância;
c) O coeficiente de variação;
d) A amplitude total.
Observação importante: trata-se de dados agrupados por classes, então a média e a variância serão aproximadas usando os pontos médios (marcas de classe). Vou assumir a fórmula de variância para a população (dividindo por
), que é o procedimento padrão em estatística descritiva quando não se pede explicitamente a amostra.
Passo 2
Calcular as marcas de classe (pontos médios) e o total de observações
.
A marca da classe
é o ponto médio da classe, ou seja
.
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Total de observações:
Passo 3
Calcular a média aritmética para dados agrupados e explicar a fórmula.
Fórmula da média para dados agrupados:
onde
é a frequência da classe
e
é a marca da classe
.
Calcular os produtos
:
-
. -
. -
. -
. -
.
Somando:
Portanto a média é
Explicação rápida: a média dos dados agrupados é a média ponderada das marcas de classe, ponderada pelas frequências; é uma aproximação da média real quando os dados originais não são apresentados individualmente.
Passo 4
Calcular a variância (populacional) usando uma fórmula prática.
Uma forma eficiente de calcular a variância para dados agrupados é usar
Aqui
é a variância (populacional),
é o quadrado da marca da classe
.
Calcular
:
-
e . -
e . -
e . -
e . -
e .
Somando:
Agora
Subtraindo o quadrado da média:
Portanto a variância é
Comentário didático: essa fórmula evita calcular todos os
individualmente; ela se baseia na identidade
.
Passo 5
Calcular o desvio padrão e explicar.
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Interpretação simples: o desvio padrão dá uma medida, na mesma unidade (hectares), de quanto os tamanhos das terras tipicamente se afastam da média.
Passo 6
Calcular o coeficiente de variação e explicar.
O coeficiente de variação (CV) é uma medida relativa de dispersão, dada por
Substituindo os valores:
Interpretação: o desvio padrão corresponde a cerca de
da média — indica variabilidade relativamente alta em relação ao tamanho médio da terra.
Passo 7
Calcular a amplitude total e explicar.
Amplitude total é a diferença entre o maior valor possível e o menor valor possível cobertos pelas classes (usando limites de classe):
Comentário final de incentivo: pronto — com calma e seguindo as fórmulas passo a passo dá para fazer tudo sem mistério. Se quiser, posso refazer arredondando com menos casas decimais ou mostrar como calcular a variância usando a soma dos quadrados
explicitamente.
Resposta
a)
hectares
b)
(hectares
);
hectares
c)
d) Amplitude total
hectares