A seguinte distribuição de frequências nos mostra as terras cultivadas dos sítios e fazendas de uma determinada região, em hectare.
Classe Frequência
[2,8[ 10
[8, 14[ 9
[14, 20[ 21
[20, 26[ 7
[26, 32[ 3
Nessas condições, determine:
a) A média aritmética;
b) O desvio padrão e a variância;
c) O coeficiente de variação.
d) A amplitude total.

Passo 1

O enunciado fornece uma distribuição de frequências por classes (em hectares) e pede quatro coisas. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido.
Dados (peguei tudo do enunciado):
  • Classes e suas frequências:
    • [2,8[ com frequência f_1=10.
    • [8,14[ com frequência f_2=9.
    • [14,20[ com frequência f_3=21.
    • [20,26[ com frequência f_4=7.
    • [26,32[ com frequência f_5=3.
O que o enunciado pede:
a) A média aritmética;
b) O desvio padrão e a variância;
c) O coeficiente de variação;
d) A amplitude total.
Observação importante: trata-se de dados agrupados por classes, então a média e a variância serão aproximadas usando os pontos médios (marcas de classe). Vou assumir a fórmula de variância para a população (dividindo por N), que é o procedimento padrão em estatística descritiva quando não se pede explicitamente a amostra.

Passo 2

Calcular as marcas de classe (pontos médios) e o total de observações N.
A marca da classe i é o ponto médio da classe, ou seja \;x_i=\dfrac{\text{limite inferior}+\text{limite superior}}{2}.
  • Para [2,8[: \;x_1=\dfrac{2+8}{2}=5.
  • Para [8,14[: \;x_2=\dfrac{8+14}{2}=11.
  • Para [14,20[: \;x_3=\dfrac{14+20}{2}=17.
  • Para [20,26[: \;x_4=\dfrac{20+26}{2}=23.
  • Para [26,32[: \;x_5=\dfrac{26+32}{2}=29.
Total de observações:
N=\sum_{i=1}^{5} f_i = 10+9+21+7+3 = 50.

Passo 3

Calcular a média aritmética para dados agrupados e explicar a fórmula.
Fórmula da média para dados agrupados:
\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i}
onde f_i é a frequência da classe i e x_i é a marca da classe i.
Calcular os produtos f_i x_i:
  • f_1 x_1 = 10\cdot 5 = 50.
  • f_2 x_2 = 9\cdot 11 = 99.
  • f_3 x_3 = 21\cdot 17 = 357.
  • f_4 x_4 = 7\cdot 23 = 161.
  • f_5 x_5 = 3\cdot 29 = 87.
Somando:
\sum_{i=1}^{5} f_i x_i = 50+99+357+161+87 = 754.
Portanto a média é
\bar{x}=\frac{754}{50}=15{,}08.
Explicação rápida: a média dos dados agrupados é a média ponderada das marcas de classe, ponderada pelas frequências; é uma aproximação da média real quando os dados originais não são apresentados individualmente.

Passo 4

Calcular a variância (populacional) usando uma fórmula prática.
Uma forma eficiente de calcular a variância para dados agrupados é usar
\sigma^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i^{2}}{N} - \bar{x}^{2}.
Aqui \sigma^{2} é a variância (populacional), x_i^{2} é o quadrado da marca da classe i.
Calcular f_i x_i^{2}:
  • x_1^{2}=5^{2}=25 e f_1 x_1^{2}=10\cdot25=250.
  • x_2^{2}=11^{2}=121 e f_2 x_2^{2}=9\cdot121=1089.
  • x_3^{2}=17^{2}=289 e f_3 x_3^{2}=21\cdot289=6069.
  • x_4^{2}=23^{2}=529 e f_4 x_4^{2}=7\cdot529=3703.
  • x_5^{2}=29^{2}=841 e f_5 x_5^{2}=3\cdot841=2523.
Somando:
\sum_{i=1}^{5} f_i x_i^{2} = 250+1089+6069+3703+2523 = 13634.
Agora
\frac{\sum f_i x_i^{2}}{N}=\frac{13634}{50}=272{,}68.
Subtraindo o quadrado da média:
\bar{x}^{2} = (15{,}08)^{2}=227{,}4064.
Portanto a variância é
\sigma^{2}=272{,}68 - 227{,}4064 = 45{,}2736.
Comentário didático: essa fórmula evita calcular todos os (x_i-\bar{x})^{2} individualmente; ela se baseia na identidade \mathrm{E}[X^{2}]-(\mathrm{E}[X])^{2}=\mathrm{Var}(X).

Passo 5

Calcular o desvio padrão e explicar.
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{45{,}2736}\approx 6{,}7286.
Interpretação simples: o desvio padrão dá uma medida, na mesma unidade (hectares), de quanto os tamanhos das terras tipicamente se afastam da média.

Passo 6

Calcular o coeficiente de variação e explicar.
O coeficiente de variação (CV) é uma medida relativa de dispersão, dada por
\mathrm{CV}=\frac{\sigma}{\bar{x}}\times 100\%.
Substituindo os valores:
\mathrm{CV}=\frac{6{,}7286}{15{,}08}\times 100\%\approx 44{,}62\%.
Interpretação: o desvio padrão corresponde a cerca de 44{,}62\% da média — indica variabilidade relativamente alta em relação ao tamanho médio da terra.

Passo 7

Calcular a amplitude total e explicar.
Amplitude total é a diferença entre o maior valor possível e o menor valor possível cobertos pelas classes (usando limites de classe):
\text{Amplitude total} = 32 - 2 = 30\\ \text{(hectares)}.
Comentário final de incentivo: pronto — com calma e seguindo as fórmulas passo a passo dá para fazer tudo sem mistério. Se quiser, posso refazer arredondando com menos casas decimais ou mostrar como calcular a variância usando a soma dos quadrados \sum f_i (x_i-\bar{x})^{2} explicitamente.

Resposta

a) \bar{x}=15{,}08 hectares
b) \sigma^{2}=45{,}2736 (hectares ^2); \sigma\approx6{,}7286 hectares
c) \mathrm{CV}\approx44{,}62\%
d) Amplitude total =30 hectares

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