A distribuição da renda, expressa em salários mínimos (s.m.), dos membros de um sindicato é caracterizada pela função de densidade:
f(x)= \begin{cases}3 x^{-4}, & \text { se } \quad x \geqslant 1 \\\\ 0, & \text { se } \quad x<1\end{cases}
Determine o nível salarial (em s.m.) abaixo do qual estão os salários de 87,5 \% (ou seja, 7/8) desses profissionais.

Passo 1

O enunciado dá a função densidade de probabilidade dos salários (em salários mínimos, s.m.):
f(x)= \begin{cases}3 x^{-4}, & \text{se } x\ge 1,\\[4pt] 0, & \text{se } x<1.\end{cases}
O que o problema pede: determinar o nível salarial (em s.m.) abaixo do qual estão os salários de 87{,}5\% dos profissionais, ou seja, achar o quantil q tal que
\mathbb{P}(X\le q)=\frac{7}{8}=0{,}875.
Informações relevantes dadas:
  • A densidade f(x) está definida para x\ge 1 por f(x)=3x^{-4}.
  • Deseja-se o valor q\ge 1 que satisfaça F(q)=7/8, onde F é a função de distribuição acumulada (CDF).]

Passo 2

Conceito e estratégia: para achar o quantil q precisamos da função distribuição acumulada F(x)=\mathbb{P}(X\le x). Para uma variável contínua com densidade f,
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Aqui, como f(t)=0 para t<1, então para x<1 vale F(x)=0. Para x\ge 1 calculamos
F(x)=\int_{1}^{x} 3t^{-4}\,dt.
Antes de integrar, é bom checar que f é de fato uma densidade (soma total de probabilidades igual a 1):
\int_{1}^{\infty} 3t^{-4}\,dt = \lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}3t^{-4}\,dt.

Passo 3

Cálculo da integral para verificar normalização e obter F(x).
Usamos a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}.
Aqui n=-4, então
\int 3t^{-4}\,dt = 3\cdot\frac{t^{-3}}{-3} = -t^{-3}.
Verificação da normalização:
\int_{1}^{\infty}3t^{-4}\,dt = \lim_{b\to\infty}[-t^{-3}]_{1}^{b} = \lim_{b\to\infty}(-b^{-3}) - (-1) = 0 + 1 = 1,
logo está normalizada. Agora a expressão da CDF para x\ge 1 é
F(x)=\int_{1}^{x}3t^{-4}\,dt = [-t^{-3}]_{1}^{x} = -x^{-3} - (-1) = 1 - x^{-3}.

Passo 4

Achar o quantil q resolvendo F(q)=\dfrac{7}{8}. Para q\ge 1 temos
1 - q^{-3} = \frac{7}{8}.
Isolando q^{-3}:
q^{-3} = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}.
Invertemos a potência:
q^{3} = 8.
Extraindo a raiz cúbica (como q\ge 1, toma-se a raiz cúbica positiva):
q = \sqrt[3]{8} = 2.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida: o valor q=2 está no suporte ( q\ge 1) e satisfaz F(2)=1-2^{-3}=1-\tfrac{1}{8}=\tfrac{7}{8}, como desejado. Portanto 87{,}5\% dos salários são menores ou iguais a 2 s.m.

Resposta

2\\ \text{s.m.}

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