O que o problema pede: determinar o nível salarial (em s.m.) abaixo do qual estão os salários de 87{,}5\% dos profissionais, ou seja, achar o quantil q tal que
\mathbb{P}(X\le q)=\frac{7}{8}=0{,}875.
Informações relevantes dadas:
A densidade f(x) está definida para x\ge 1 por f(x)=3x^{-4}.
Deseja-se o valor q\ge 1 que satisfaça F(q)=7/8, onde F é a função de distribuição acumulada (CDF).]
Passo 2
Conceito e estratégia: para achar o quantil q precisamos da função distribuição acumulada F(x)=\mathbb{P}(X\le x). Para uma variável contínua com densidade f,
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Aqui, como f(t)=0 para t<1, então para x<1 vale F(x)=0. Para x\ge 1 calculamos
F(x)=\int_{1}^{x} 3t^{-4}\,dt.
Antes de integrar, é bom checar que f é de fato uma densidade (soma total de probabilidades igual a 1):
Achar o quantil q resolvendo F(q)=\dfrac{7}{8}. Para q\ge 1 temos
1 - q^{-3} = \frac{7}{8}.
Isolando q^{-3}:
q^{-3} = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}.
Invertemos a potência:
q^{3} = 8.
Extraindo a raiz cúbica (como q\ge 1, toma-se a raiz cúbica positiva):
q = \sqrt[3]{8} = 2.
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida: o valor q=2 está no suporte (q\ge 1) e satisfaz F(2)=1-2^{-3}=1-\tfrac{1}{8}=\tfrac{7}{8}, como desejado. Portanto 87{,}5\% dos salários são menores ou iguais a 2 s.m.