Um ohmímetro tem um galvanômetro com uma deflexão de fundo de escala de 80 \mu \mathrm{~A}. A tensão nos terminais ab com o circuito aberto é de 10 V . O Ohmímetro é zerado e então um resistor desconhecido Rx é medido, produzindo uma deflexão de um quarto da escala. Calcule o valor do resistor desconhecido.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • A corrente de fundo de escala do galvanômetro é \,I_{\text{fs}}=80\\ \mu\text{A}.
  • A tensão nos terminais a e b com circuito aberto é \,10\\ \text{V}. (Isto corresponde à fem da fonte do ohmímetro, que chamarei de E.)
  • O ohmímetro foi zerado (isto é, ajustado com os terminais em curto para que a escala marque zero ohms) e em seguida um resistor desconhecido R_x foi conectado, produzindo uma deflexão de um quarto da escala.
  • Pergunta: calcular o valor do resistor desconhecido R_x.

Passo 2

Vamos explicar (com calma) o modelo de circuito que usamos para o ohmímetro e definir variáveis.
  • Modelo simplificado: a fonte de tensão \,E está em série com um resistor de ajuste (resistor série do aparelho) que chamo de \,R_s. Esse conjunto fornece corrente através do circuito quando um resistor externo \,R_x é conectado. O galvanômetro mede a corrente; o zero é feito ajustando \,R_s de modo que, com terminais em curto ( R_x=0), a corrente atinja a deflexão de fundo de escala \,I_{\text{fs}}.
  • Nota importante sobre hipóteses: o enunciado não fornece a resistência interna do galvanômetro. Para problemas deste tipo é comum assumir que essa resistência já foi incorporada no ajuste (ou que é desprezível em relação a \,R_s), de modo que o ajuste do zero determina efetivamente o valor total de resistência série \,R_s que limita a corrente. Vou seguir essa hipótese (se a resistência do galvanômetro fosse relevante e conhecida, ela entraria somada a \,R_s nas fórmulas).
Definições de variáveis:
  • \,E = tensão da fonte do ohmímetro. Aqui \,E=10\\ \text{V}.
  • \,R_s = resistência série ajustada ao zerar.
  • \,I_{\text{fs}} = corrente de fundo de escala, \,I_{\text{fs}}=80\\ \mu\text{A}.
  • \,R_x = resistência desconhecida a determinar.
  • \,I = corrente medida quando \,R_x está conectado. Foi dada pela deflexão de um quarto da escala, então \,I=\tfrac{1}{4}I_{\text{fs}}.

Passo 3

Expressar matematicamente o que acontece ao zerar (quando R_x=0) e calcular \,R_s.
Quando os terminais são curto-circuitados ( R_x=0), a corrente pelo circuito é a corrente de fundo de escala \,I_{\text{fs}}. Pelo modelo em série vale a lei de Ohm:
I_{\text{fs}}=\frac{E}{R_s}.
Isolando \,R_s:
R_s=\frac{E}{I_{\text{fs}}}.
Agora substituo os valores numéricos dados (sempre em notação matemática):
R_s=\frac{10\\ \text{V}}{80\times10^{-6}\\ \text{A}}.
Faço a conta passo a passo:
80\times10^{-6}=8{,}0\times10^{-5}\\ \text{A},
R_s=\frac{10}{8{,}0\times10^{-5}}=\frac{10}{8{,}0}\times10^{5}=1{,}25\times10^{5}\\ \Omega.
Portanto
R_s=125\,000\\ \Omega=125\\ \text{k}\Omega.

Passo 4

Determinar a corrente quando \,R_x está conectado e usar isso para achar \,R_x.
A deflexão foi de um quarto da escala, logo a corrente medida é
I=\frac{1}{4}I_{\text{fs}}=\frac{1}{4}\cdot80\\ \mu\text{A}=20\\ \mu\text{A}.
Pelo mesmo circuito em série, a corrente com R_x conectado satisfaz
I=\frac{E}{R_s+R_x}.
Isolando \,R_x:
R_x=\frac{E}{I}-R_s.
Substituo os valores numéricos ( I=20\\ \mu\text{A}=20\times10^{-6}\\ \text{A}):
\frac{E}{I}=\frac{10\\ \text{V}}{20\times10^{-6}\\ \text{A}}=\frac{10}{2{,}0\times10^{-5}}=5{,}0\times10^{5}\\ \Omega.
Agora subtraio \,R_s=1{,}25\times10^{5}\\ \Omega:
R_x=5{,}0\times10^{5}-1{,}25\times10^{5}=3{,}75\times10^{5}\\ \Omega.

Passo 5

Interpretação final e verificação rápida (para ficar tranquilo):
  • Quando R_x=0 a corrente era \,80\\ \mu\text{A} (fundo de escala), o que nos deu \,R_s=125\\ \text{k}\Omega.
  • Com R_x conectado a corrente caiu para \,20\\ \mu\text{A}, exatamente um quarto, e a relação entre resistências no denominador explica que R_x acabou sendo três vezes \,R_s: \,R_x=3R_s, o que confere com \,3\times125\\ \text{k}\Omega=375\\ \text{k}\Omega.

Resposta

\,3{,}75\times10^{5}\\ \Omega

Exercícios relacionados