Um voltímetro de 600 \Omega de resistência e um miliamperímetro de 0,8 \Omega é usada para medir duas resistências desconhecidas pelo método voltímetro-amperímetro. Se o voltímetro indicar 40 V e o miliamperímetro indicar 120 mA em ambos os casos, calcule o erro percentual nos valores de resistências medidas se no primeiro caso, o voltímetro é colocado através da resistência e o miliamperímetro conectado em série com a alimentação.

Passo 1

Vamos identificar claramente os dados que o enunciado nos dá e o que se pede.
  • Dados:
    • Resistência interna do voltímetro: R_V = 600\\ \Omega.
    • Resistência interna do miliamperímetro: R_A = 0,8\\ \Omega.
    • Indicações medidas (em ambos os arranjos): tensão indicada V = 40\\ \text{V} e corrente indicada I = 120\\ \text{mA} = 0,12\\ \text{A}.
  • O enunciado fala em dois casos (dois arranjos do voltímetro e do amperímetro) e diz que as leituras são as mesmas em ambos. Aqui vamos tratar os dois arranjos clássicos:
    • Caso A (o que o enunciado descreve como “no primeiro caso”): o voltímetro está ligado através (em paralelo) com a resistência a medir R_x e o miliamperímetro está em série com a alimentação (ou seja, mede a corrente total fornecida pela fonte).
    • Caso B (o arranjo alternativo habitual): o miliamperímetro é colocado em série com a resistência R_x e o voltímetro é ligado para medir a tensão nos terminais do conjunto (isto é, o voltímetro mede a queda em R_x mais a queda no amperímetro, se ligado assim).
  • O que se pede: calcular o erro percentual nos valores das resistências medidas em cada caso (particularmente o enunciado destacou o primeiro caso, mas é útil comparar os dois).

Passo 2

Primeiro calculemos a resistência indicada pelos instrumentos (isto é, o valor que um estudante obteria simplesmente fazendo R_{\text{ind}}=V/I).
R_{\text{ind}}=\frac{V}{I}=\frac{40}{0,12}=333,\overline{3}\\ \Omega.
Para trabalhar com números arredondados usaremos R_{\text{ind}}\approx 333,33\\ \Omega.
Explicação didática curta: isso é o que aparece no mostrador se alguém fizer divisão direta da tensão indicada pelo voltímetro pela corrente indicada pelo miliamperímetro. Esse valor pode diferir do valor real da resistência por causa das correntes e quedas extras provocadas pelas resistências internas dos instrumentos.

Passo 3

Análise do Caso A (volímetro em paralelo com R_x; amperímetro mede corrente total da fonte).
Desenho mental do circuito: a fonte fornece uma corrente total I que se divide em duas ramificações: uma atravessa a resistência verdadeira R_x (corrente I_x) e outra atravessa o voltímetro (corrente I_V). O miliamperímetro, estando em série com a fonte, mede a corrente total I = I_x + I_V. O voltímetro mede a tensão nos terminais de R_x, que é V.
Usando as leis óbvias (Ohm), temos:
I_x=\frac{V}{R_x},\qquad I_V=\frac{V}{R_V}.
Como o amperímetro lê I=I_x+I_V, a resistência indicada é
R_{\text{ind}}=\frac{V}{I}=\frac{V}{\dfrac{V}{R_x}+\dfrac{V}{R_V}} =\frac{1}{\dfrac{1}{R_x}+\dfrac{1}{R_V}}.
Isto significa que a resistência indicada é o equivalente em paralelo de R_x com R_V:
R_{\text{ind}}=\frac{R_x\,R_V}{R_x+R_V}.
Agora resolvemos essa relação para R_x (o valor verdadeiro da resistência que estamos medindo):
R_{\text{ind}}=\frac{R_x R_V}{R_x+R_V} \quad\Rightarrow\quad R_x(R_{\text{ind}}-R_V)=-R_{\text{ind}}R_V
\Rightarrow\quad R_x=\frac{R_{\text{ind}}\,R_V}{R_V-R_{\text{ind}}}.
Substituindo numericamente R_{\text{ind}}=333,33\\ \Omega e R_V=600\\ \Omega:
R_x=\frac{333,33\cdot 600}{600-333,33}=\frac{200000}{266,67}=750\\ \Omega.
Portanto o valor verdadeiro da resistência é R_x=750\\ \Omega enquanto a indicação foi 333,33\\ \Omega. Agora o erro percentual (tomando erro relativo em relação ao valor verdadeiro) é
\text{erro\%}=\frac{R_{\text{ind}}-R_x}{R_x}\times 100\%.
Substituindo:
\text{erro\%}=\frac{333,33-750}{750}\times 100\%=\frac{-416,67}{750}\times100\%=-55,56\%.
Interpretação: o sinal negativo indica que a resistência indicada subestima o valor verdadeiro. Em termos absolutos, o erro é de 55,56\% (ou seja, o valor medido é aproximadamente 55{,}6\% menor que o real). Isso acontece porque o voltímetro, sendo relativamente baixo ( 600\\ \Omega), rouba corrente significativa, fazendo o amperímetro registrar uma corrente maior que a que passa pela resistência testada.

Passo 4

Análise do Caso B (amperímetro em série com R_x; voltímetro mede a tensão nos terminais do conjunto, ou seja, mede a queda em R_x mais a queda no amperímetro).
Neste arranjo o voltímetro está ligado sobre o conjunto que inclui o miliamperímetro em série com R_x, então a tensão indicada é
V=I(R_x+R_A).
Portanto a resistência indicada é
R_{\text{ind}}=\frac{V}{I}=R_x+R_A.
Assim o valor verdadeiro da resistência é
R_x=R_{\text{ind}}-R_A.
Numericamente:
R_x=333,33-0,8=332,53\\ \Omega\quad(\text{aprox.}).
Erro percentual (relativo ao verdadeiro):
\text{erro\%}=\frac{R_{\text{ind}}-R_x}{R_x}\times 100\%=\frac{0,8}{332,53}\times100\%\approx 0,24\%.
Interpretação: aqui a medição superestima levemente a resistência verdadeira (porque o voltímetro mede também a pequena queda no amperímetro). O erro é muito pequeno, cerca de 0,24\%.

Passo 5

Resumo qualitativo (rápido e motivador): com os instrumentos fornecidos, a posição do voltímetro/amperímetro faz grande diferença. Colocar o voltímetro em paralelo com a resistência enquanto o amperímetro mede a corrente total (Caso A) pode levar a um erro enorme se o voltímetro não tiver resistência muito alta em relação ao resistor medido. Já colocar o amperímetro em série com o resistor e medir a tensão do conjunto (Caso B) leva a um erro muito pequeno quando R_A é muito pequeno.

Resposta

Caso A (volímetro em paralelo com R_x, amperímetro medindo corrente total): erro percentual -55{,}56\% (a medição subestima o valor real em 55{,}56\%).
Caso B (amperímetro em série com R_x, voltímetro medindo sobre o conjunto): erro percentual +0{,}24\% (a medição superestima o valor real em 0{,}24\%).

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