, onde
é parametrizada por
. Considerar os dois sentidos de percurso.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do integral de linha
sobre a curva fechada dada pela parametrização
sobre a curva fechada
onde
Vamos usar a fórmula
e aproveitar derivadas totais e periodicidade para simplificar.
Passo 2
Calcular as derivadas da parametrização:
Passo 3
Substituindo em
e formando o integrando, temos
Logo o integrando é
Passo 4
Ao expandir
, os termos com
se agrupam como
Assim esses termos reduzem a uma derivada total.
Passo 5
Como
é
-periódica,
Passo 6
Ficam ainda termos puramente trigonométricos
(os outros de forma
têm integral zero em
).
Portanto
Portanto
Passo 7
O restante é
Fazendo
implica
,
logo é sobre um laço fechado em
, que vale zero.
logo é
Passo 8
Somando tudo, o integral no sentido
crescente é
Para o sentido contrário o valor inverte de sinal.
Resposta
O integral vale
no sentido dado pela parametrização
e
no sentido inverso.