\oint_{C}\left(2 x e^{y}+x z\right) d x+\left(x^{2} e^{y}+y^{3}\right) d y+\left(y+\ln \left(z^{4}+1\right)\right) d z, onde C é parametrizada por \vec{r}(t)=(2 \cos t, 3 \operatorname{sen} t, \cos t+\operatorname{sen} t), t \in[0,2 \pi]. Considerar os dois sentidos de percurso.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de linha
\displaystyle \oint_{C}P\,dx+Q\,dy+R\,dz
sobre a curva fechada C dada pela parametrização
\vec r(t)=(x,y,z)=(2\cos t,\;3\sin t,\;\cos t+\sin t), \quad t\in[0,2\pi],
onde
P=2x\,e^{y}+x\,z,\quad Q=x^{2}e^{y}+y^{3},\quad R=y+\ln\bigl(z^{4}+1\bigr).
Vamos usar a fórmula
\oint_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz =\int_{0}^{2\pi}\bigl[P(x,y,z)\,\dot x +Q(x,y,z)\,\dot y+R(x,y,z)\,\dot z\bigr]\,dt
e aproveitar derivadas totais e periodicidade para simplificar.

Passo 2

Calcular as derivadas da parametrização:
x(t)=2\cos t\implies\dot x(t)=-2\sin t, \quad y(t)=3\sin t\implies\dot y(t)=3\cos t,
z(t)=\cos t+\sin t\implies\dot z(t)=-\sin t+\cos t.

Passo 3

Substituindo em P,Q,R e formando o integrando, temos
P(x,y,z) =4\cos t\,e^{3\sin t} +2\cos t\,(\cos t+\sin t),
Q(x,y,z) =4\cos^{2}t\,e^{3\sin t} +27\sin^{3}t,
R(x,y,z) =3\sin t+\ln\bigl((\cos t+\sin t)^{4}+1\bigr).
Logo o integrando é
I(t)=P\,\dot x+Q\,\dot y+R\,\dot z.

Passo 4

Ao expandir I(t), os termos com e^{3\sin t} se agrupam como
-8\sin t\cos t\,e^{3\sin t} +12\cos^{3}t\,e^{3\sin t} =4\,\frac{d}{dt}\bigl[\cos^{2}t\,e^{3\sin t}\bigr].
Assim esses termos reduzem a uma derivada total.

Passo 5

Como \cos^{2}t\,e^{3\sin t} é 2\pi-periódica,
4\int_{0}^{2\pi}\frac{d}{dt}\bigl[\cos^{2}t\,e^{3\sin t}\bigr]\,dt =4\bigl[\cos^{2}t\,e^{3\sin t}\bigr]_{0}^{2\pi}=0.

Passo 6

Ficam ainda termos puramente trigonométricos
-3\sin^{2}t (os outros de forma \sin^{k}t\cos^{\ell}t têm integral zero em [0,2\pi]).
Portanto
\int_{0}^{2\pi}(-3\sin^{2}t)\,dt =-3\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\,dt =-3\cdot\pi=-3\pi.

Passo 7

O restante é
\int_{0}^{2\pi}\bigl(\cos t-\sin t\bigr) \ln\bigl((\cos t+\sin t)^{4}+1\bigr)\,dt.
Fazendo u=\cos t+\sin t implica du=(\cos t-\sin t)\,dt,
logo é \int_{\text{ciclo}} \ln(u^{4}+1)\,du sobre um laço fechado em u, que vale zero.

Passo 8

Somando tudo, o integral no sentido t crescente é
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy+R\,dz =-3\pi.
Para o sentido contrário o valor inverte de sinal.

Resposta

O integral vale -3\pi no sentido dado pela parametrização t\in[0,2\pi] e +3\pi no sentido inverso.

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