Teste a série quanto a convergência ou divergência:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{1 / n}}{n}(d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência das duas séries
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{1/n}}{n} \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}.
O conteúdo envolve o teste da comparação de limites para a primeira e o teste da razão para a segunda.

Passo 2

Para a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{1/n}}{n} usamos o teste da comparação de limites. Tomamos
a_n = \frac{e^{1/n}}{n} \quad\text{e}\quad b_n = \frac{1}{n}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}e^{1/n} = e^0 = 1.
Como \sum b_n = \sum \tfrac1n é divergente (série harmônica) e o limite do quociente é finito e não nulo, conclui-se que \sum a_n também diverge.

Passo 3

Para a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} aplicamos o teste da razão. Seja
a_n = \frac{n!}{n^{n}}.
Então
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!/(n+1)^{\,n+1}}{n!/n^n} = \frac{(n+1)\,n^n}{(n+1)^{\,n+1}} = \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{\!n} \longrightarrow e^{-1}<1.
Pelo teste da razão, como o limite é menor que 1, a série converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{1/n}}{n} diverge.
A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}} converge.

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