Teste a série quanto a convergência ou divergência:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede que testemos a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}.
O conteúdo principal aqui é séries numéricas e, em particular, o teste da divergência (ou teste do termo geral), que diz que se a_n\not\to0 quando n\to\infty, então a série \sum a_n diverge. Para aplicar esse teste, precisamos estudar o comportamento do termo geral
a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}
quando n\to\infty.

Passo 2

Para ver o limite de a_n, vamos ao logaritmo:
\ln a_n = n^{2}\,\ln\!\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr).
Usando a expansão em séries de Taylor para \ln(1+x) em torno de x=0,
\ln\!\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr) =\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+O\Bigl(\frac{1}{n^{3}}\Bigr).
Multiplicando por n^2,
n^{2}\,\ln\!\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr) =n-\frac12+O\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr).
Logo,
a_n =\exp\Bigl(n-\tfrac12+O(\tfrac1n)\Bigr) =e^{-\tfrac12}\,e^{n}\,(1+o(1)),
e portanto
a_n\to+\infty \quad\text{quando }n\to\infty.

Passo 3

Como a_n\to+\infty, em particular a_n não tende a zero. Pelo teste da divergência, se o termo geral não tende a zero, a série
\sum_{n=1}^{\infty}a_n diverge.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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