Óleo a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=888 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right. e
\left.\mu=0,800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}\right)) está fluindo continuamente através de um tubo de 5 cm de diâmetro e 40 m de comprimento. As pressões na entrada e na saída do tubo foram medidas em 745 e 97 kPa , respectivamente. Verifique também se o fluxo através do tubo é laminar.
Determine a vazão de óleo através do tubo, assumindo que o tubo está inclinado 15^{\circ} para baixo

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar a vazão de óleo através de um tubo e (2) verificar se o escoamento é laminar. \n
Dados fornecidos (vou listar exatamente como vieram): \n
  • Pressão de entrada: p_1=745\\ \mathrm{kPa}. \n
  • Pressão de saída: p_2=97\\ \mathrm{kPa}. \n
  • Diâmetro do tubo: D=5\\ \mathrm{cm} = 0,05\\ \mathrm{m}. \n
  • Comprimento do tubo: L=40\\ \mathrm{m}. \n
  • Inclinação do tubo: 15^\circ para baixo (ou seja, a extremidade de saída está abaixo da entrada). \n
  • Densidade do óleo: \rho=888\\ \mathrm{kg/m^3}. (valor dado) \n
  • Viscosidade dinâmica do óleo: \mu=0,800\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}. (valor dado) \n
  • Aceleração da gravidade: g=9,81\\ \mathrm{m/s^2} (usarei este valor). \n
    Perguntas explícitas: calcular a vazão volumétrica Q e verificar se o escoamento é laminar (avaliando o número de Reynolds).

Passo 2

Entendendo como relacionar pressão, gravidade e perda por atrito (aula rápida). \n
Para escoamento incompressível e estacionário em tubo de seção constante (velocidade média igual nas seções de entrada e saída), a energia entre entrada e saída dá a relação (Bernoulli com perda por atrito):
h_f=\frac{p_1-p_2}{\rho g} + (z_1-z_2),
onde h_f é a perda de carga hidrodinâmica ao longo do tubo (expressa em metros de coluna de fluido), e z_1-z_2 é a diferença de cota entre entrada e saída. Multiplicando por \rho g obtemos a perda de pressão devido ao atrito:
\Delta p_{f} = \rho g (h_f) = p_1-p_2 + \rho g (z_1-z_2).
Aqui \Delta p_{f} é a “queda de pressão efetiva” que resulta do atrito viscoso no tubo e que será relacionada à vazão.

Passo 3

Lei de Poiseuille (Hagen–Poiseuille) para escoamento laminar em tubo circular: a perda de pressão por atrito para escoamento totalmente desenvolvido é
\Delta p_{f} = \frac{128\,\mu\,L\,Q}{\pi D^{4}}.
Nesta fórmula: \Delta p_{f} é a perda de pressão (Pa), \mu é a viscosidade dinâmica ( \mathrm{kg/(m\cdot s)}), L comprimento (m), Q vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s}), D diâmetro (m). \n
Igualando com a expressão do passo anterior:
\frac{128\,\mu\,L\,Q}{\pi D^{4}} = p_1 - p_2 + \rho g (z_1-z_2).
Daí isolamos Q:
Q = \frac{\pi D^{4}}{128\,\mu\,L}\,\bigl(p_1 - p_2 + \rho g (z_1-z_2)\bigr).

Passo 4

Calcular cada termo numérico com cuidado (substitua tudo por números). \n
  1. Diferença de pressão entre entrada e saída:
p_1-p_2 = (745-97)\\ \mathrm{kPa} = 648\\ \mathrm{kPa} = 648\,000\\ \mathrm{Pa}.
  1. Diferença de cota z_1-z_2. Como o tubo está inclinado 15^\circ para baixo ao longo do comprimento L, a queda vertical é
\Delta z = z_1-z_2 = L\sin(15^\circ).
Calcule:
\sin(15^\circ)\approx 0{,}258819
\Delta z = 40\cdot 0{,}258819 \approx 10{,}3528\\ \mathrm{m}.
  1. Termo gravitacional convertido em pressão:
\rho g \Delta z = 888\cdot 9{,}81\cdot 10{,}3528.
Calcule passo a passo:
9{,}81\cdot 10{,}3528 \approx 101{,}56\quad(\mathrm{m/s^2\cdot m} = \mathrm{m^2/s^2}),
\rho g \Delta z \approx 888\cdot 101{,}56 \approx 90\,186\\ \mathrm{Pa}.
  1. Soma que entra na fórmula:
p_1-p_2 + \rho g\Delta z \approx 648\,000 + 90\,186 = 738\,186\\ \mathrm{Pa}.
  1. Agora o fator geométrico \dfrac{\pi D^{4}}{128\mu L}. Primeiro D^{4}:
D^{4} = (0{,}05)^{4} = 6{,}25\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{m^4}.
\pi D^{4} = \pi\cdot 6{,}25\cdot 10^{-6} \approx 1{,}9634954\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{m^4}.
Denominador:
128\,\mu\,L = 128\cdot 0{,}800\cdot 40 = 4096.
Portanto o fator:
\frac{\pi D^{4}}{128\mu L} \approx \frac{1{,}9634954\cdot 10^{-5}}{4096} \approx 4{,}793\cdot 10^{-9}\\ \mathrm{\frac{m^3}{Pa\cdot s}}.
  1. Finalmente a vazão:
Q \approx 4{,}793\cdot 10^{-9}\cdot 738\,186 \approx 0{,}003538\\ \mathrm{m^3/s}.
Converter para litros por segundo:
Q \approx 0{,}003538\\ \mathrm{m^3/s} = 3{,}538\\ \mathrm{L/s}.
Arredondando de forma prática para a prova: \;Q\approx 0{,}00354\\ \mathrm{m^3/s} (ou 3{,}54\\ \mathrm{L/s}).

Passo 5

Verificação do regime de escoamento (número de Reynolds). \n
Definição do número de Reynolds para fluxo em tubo:
\mathrm{Re} = \frac{\rho V D}{\mu},
onde V é a velocidade média do fluido, V=Q/A e A=\dfrac{\pi D^{2}}{4} é a área da seção. \n
Calcule a área:
A=\frac{\pi D^{2}}{4} = \frac{\pi (0{,}05)^{2}}{4} = \pi\cdot 0{,}000625 \approx 0{,}0019635\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média:
V = \frac{Q}{A} \approx \frac{0{,}003538}{0{,}0019635} \approx 1{,}803\\ \mathrm{m/s}.
Agora Reynolds:
\mathrm{Re} = \frac{888\cdot 1{,}803\cdot 0{,}05}{0{,}800}.
Calcule:
888\cdot 1{,}803\cdot 0{,}05 \approx 80{,}05,
\mathrm{Re} \approx \frac{80{,}05}{0{,}800} \approx 100{,}06 \approx 100.
Critério: escoamento em tubo circular é laminar se \mathrm{Re}\lesssim 2300. Aqui \mathrm{Re}\approx 100 \ll 2300, portanto o escoamento é laminar — condição coerente com o uso da lei de Poiseuille.

Resposta

Q \approx 0{,}00354\\ \mathrm{m^3/s} \;(\approx 3{,}54\\ \mathrm{L/s})\n
Fluxo laminar: Sim. \mathrm{Re}\approx 100

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