Um óleo com calor específico de 2100 \mathrm{~J} / \mathrm{kgK} entra em um resfriador de óleo a 82^{\circ} \mathrm{C} com uma vazão de 2,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O resfriador é uma unidade de correntes opostas que utiliza água como refrigerante. A área de transferência de calor é de 28 \mathrm{~m}^{2}, e o coeficiente global de transferência de calor é de 570 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. A água entra no trocador a 27^{\circ} \mathrm{C}. Determine a vazão de água necessária, caso o óleo deva sair do resfriador a 38^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a vazão mássica de água que deve circular num trocador de calor de correntes opostas para que o óleo saia a 38^{\circ}\mathrm{C}. Informações dadas (vou listar todas, com unidades):
\begin{aligned} &\text{Óleo:}\quad \dot m_o = 2{,}5\\ \mathrm{kg/s},\quad c_{p,o}=2100\\ \mathrm{J/(kg\,K)},\\\ &T_{h,\text{in}} = 82^{\circ}\mathrm{C},\quad T_{h,\text{out}} = 38^{\circ}\mathrm{C}.\\[4pt] &\text{Água (refrigerante):}\quad T_{c,\text{in}} = 27^{\circ}\mathrm{C},\quad \dot m_w = \text{?}\\[4pt] &\text{Trocador:}\quad A = 28\\ \mathrm{m^{2}},\quad U = 570\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K)}. \end{aligned}ÓÁ
O objetivo é achar \dot m_w (vazão mássica da água) tal que o trocador em correntes opostas satisfaça as condições acima. Não foi dado c_{p} da água nem a temperatura de saída da água, então vou assumir o valor padrão c_{p,w}=4180\\ \mathrm{J/(kg\,K)} e determinar a temperatura de saída da água como parte da solução.]

Passo 2

Primeiro faço o balanço de energia para o óleo para obter o fluxo de calor Q requerido. A razão é: o calor perdido pelo óleo é
Q = \dot m_o\, c_{p,o}\, \bigl(T_{h,\text{in}} - T_{h,\text{out}}\bigr).
Substituindo os valores:
Q = 2{,}5 \cdot 2100 \cdot (82 - 38)\\ \mathrm{J/s}.
Calculo passo a passo: 82-38 = 44. Depois 2100\cdot 44 = 92400. Finalmente 2{,}5\cdot 92400 = 231000. Logo
Q = 231000\\ \mathrm{W}.
Isso significa que o trocador deve remover 231\\ \mathrm{kW} do óleo.

Passo 3

A água recebe esse calor, portanto a relação entre Q, a vazão mássica da água \dot m_w e a temperatura de saída da água T_{c,\text{out}} é
Q = \dot m_w\, c_{p,w}\, \bigl(T_{c,\text{out}} - T_{c,\text{in}}\bigr).
Isolando T_{c,\text{out}} em termos de \dot m_w:
T_{c,\text{out}} = T_{c,\text{in}} + \dfrac{Q}{\dot m_w\, c_{p,w}}.
Ainda não podemos obter \dot m_w só com isso, porque T_{c,\text{out}} também aparece na equação de transferência de calor do trocador (LMTD). Vou agora escrever essa equação.

Passo 4

Para um trocador em correntes opostas a transferência de calor pode ser escrita como
Q = U\,A\,\Delta T_{lm},
onde \Delta T_{lm} é a diferença de temperatura logarítmica média (LMTD) definida por
\Delta T_{lm} = \dfrac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\bigl(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\bigr)}.
Aqui, para correntes opostas, defino
\Delta T_1 = T_{h,\text{in}} - T_{c,\text{out}},\qquad \Delta T_2 = T_{h,\text{out}} - T_{c,\text{in}}.
Do enunciado sabemos T_{h,\text{in}}=82^{\circ}\mathrm{C}, T_{h,\text{out}}=38^{\circ}\mathrm{C} e T_{c,\text{in}}=27^{\circ}\mathrm{C}. Então
\Delta T_2 = 38 - 27 = 11\\ \mathrm{K}.
Também U A = 570\cdot 28 = 15960\\ \mathrm{W/K}. Como Q já foi calculado, posso obter o valor numérico de \Delta T_{lm}:
\Delta T_{lm} = \dfrac{Q}{U A} = \dfrac{231000}{15960}\\ \mathrm{K} \approx 14{,}47\\ \mathrm{K}.
Portanto temos a equação a resolver para \Delta T_1:
\dfrac{\Delta T_1 - 11}{\ln\!\bigl(\dfrac{\Delta T_1}{11}\bigr)} = 14{,}47.
Note que \Delta T_1 também se relaciona com T_{c,\text{out}} por \Delta T_1 = 82 - T_{c,\text{out}}, e T_{c,\text{out}} se relaciona com \dot m_w conforme escrevi no Passo 3. Assim a incógnita principal aqui é \Delta T_1; ao encontrá-la consigo T_{c,\text{out}} e então \dot m_w.

Passo 5

Agora resolvo numericamente a equação
f(\Delta T_1)=\dfrac{\Delta T_1 - 11}{\ln\!\bigl(\dfrac{\Delta T_1}{11}\bigr)} - 14{,}47 = 0.
Faço tentativas simples (método de aproximação por iteração/bisseção) para achar \Delta T_1:
  • Para \Delta T_1=20: \dfrac{20-11}{\ln(20/11)}=\dfrac{9}{\ln(1{,}818)}=\dfrac{9}{0{,}5988}\approx 15{,}03 → maior que 14{,}47.
  • Para \Delta T_1=18: \dfrac{7}{\ln(18/11)}=\dfrac{7}{\ln(1{,}636)}=\dfrac{7}{0{,}4925}\approx 14{,}21 → menor que 14{,}47.
Portanto a solução está entre 18 e 20. Aproximo mais:
  • Para \Delta T_1=18{,}5: resultado \approx 14{,}41 (ainda um pouco menor).
  • Para \Delta T_1=18{,}7: resultado \approx 14{,}52 (um pouco maior).
Interpolando e refinando, obtenho
\Delta T_1 \approx 18{,}59\\ \mathrm{K}.
(Isto é suficiente para calcular a vazão com precisão prática; mostrei as tentativas para que você veja como ajustar.)

Passo 6

Com \Delta T_1 encontrado, calculo a temperatura de saída da água:
T_{c,\text{out}} = T_{h,\text{in}} - \Delta T_1 = 82 - 18{,}59 = 63{,}41^{\circ}\mathrm{C}.
Agora uso o balanço de energia da água (Passo 3) para obter \dot m_w:
\dot m_w = \dfrac{Q}{c_{p,w}\,\bigl(T_{c,\text{out}} - T_{c,\text{in}}\bigr)}.
Substituindo números: T_{c,\text{out}} - T_{c,\text{in}} = 63{,}41 - 27 = 36{,}41\\ \mathrm{K}. Logo
\dot m_w = \dfrac{231000}{4180 \cdot 36{,}41} \approx 1{,}52\\ \mathrm{kg/s}.
Cálculo intermediário: 4180\cdot 36{,}41 \approx 152194, e 231000/152194 \approx 1{,}518, arredondando para dois algarismos significativos fica 1{,}52\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 7

Resumo do raciocínio: calculei o calor necessário a partir do óleo, usei a relação Q=UA\Delta T_{lm} para fixar a LMTD do trocador, resolvi a equação da LMTD para obter a diferença térmica na entrada quente \Delta T_1, obtive a temperatura de saída da água e finalmente calculei a vazão mássica da água pelo balanço de energia. Usei c_{p,w}=4180\\ \mathrm{J/(kg\,K)} como valor padrão para água.
Vai dar certo na prova: siga estes passos sistemáticos — balanço de energia + equação UA·LMTD — e você resolve qualquer problema parecido. Força aí!

Resposta

1{,}52\\ \mathrm{kg/s}

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