Um trocador de calor de tubos concêntricos, de 10 m de comprimento e com fluxos contracorrente é usado para aquecer um alimento líquido de 20^{\circ} \mathrm{C} para 80^{\circ} \mathrm{C}. O fluido de aquecimento empregado é óleo, que entra no traçador de calor a 150^{\circ} \mathrm{C} e sai a 60^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} calor específico do alimento líquido é de 3,9(\mathrm{~kJ} / \mathrm{kgK}). O coeficiente global de transferência de calor baseado na área interna é 1000\left(\mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right). O diâmetro do tubo menor é de 7 cm .
a) Estime a taxa do fluxo do alimento líquido.
b) Determine a taxa de fluxo do alimento líquido se o trocador de calor for operado no modo concorrente para as mesmas condições de temperatura na entrada e na saída do trocador de calor.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) estimar a taxa de fluxo mássico do alimento líquido quando o trocador opera em contracorrente, com as temperaturas de entrada e saída dadas; (b) determinar a taxa de fluxo do alimento líquido se o trocador for operado em concorrente, mantendo as mesmas temperaturas de entrada e saída.
Dados fornecidos (listei cada informação relevante tal como está no enunciado):
\;L=10\\ \mathrm{m} (comprimento do trocador)
\;T_{c,\mathrm{in}}=20^\circ\mathrm{C} (temperatura de entrada do alimento — “cold”)
\;T_{c,\mathrm{out}}=80^\circ\mathrm{C} (temperatura de saída do alimento)
\;T_{h,\mathrm{in}}=150^\circ\mathrm{C} (temperatura de entrada do óleo — “hot”)
\;T_{h,\mathrm{out}}=60^\circ\mathrm{C} (temperatura de saída do óleo)
\;c_{p,c}=3{,}9\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)} (calor específico do alimento)
\;U=1000\\ \mathrm{W/(m^2\;K)} (coeficiente global, baseado na área interna)
\;D_i=0{,}07\\ \mathrm{m} (diâmetro interno do tubo menor, que dá a área interna)
Observação importante: o enunciado não fornece c_{p} do óleo nem a vazão mássica do óleo; usaremos conservação de energia (calor cedido pelo óleo = calor recebido pelo alimento) e as relações de troca térmica (LMTD e/ou método eficácia-NTU) para relacionar as vazões. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Calculando a área interna disponível para troca térmica (área lateral do tubo interno). Fórmula da área lateral de um cilindro: \;A=\pi D_i L. Aqui cada símbolo significa: A área (m²), D_i diâmetro interno (m), L comprimento (m). Substituindo os valores:
A=\pi\cdot(0{,}07)\cdot(10)=\pi\cdot0{,}7\approx2{,}1991148575\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Explicação do método para a parte (a): para o arranjo contracorrente podemos usar a relação clássica entre fluxo de calor, coeficiente U, área A e a diferença de temperatura logarítmica média (LMTD). A equação é
\dot Q = U A \Delta T_{lm},
onde \dot Q é a taxa de transferência de calor em \mathrm{W} e \Delta T_{lm} é a diferença de temperatura logarítmica média, definida (para contracorrente) por
\Delta T_{lm}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}
com \Delta T_1=T_{h,\mathrm{in}}-T_{c,\mathrm{out}} e \Delta T_2=T_{h,\mathrm{out}}-T_{c,\mathrm{in}}. Vou calcular essas diferenças agora.

Passo 4

Calcular \Delta T_1 e \Delta T_2:
\Delta T_1 = T_{h,\mathrm{in}} - T_{c,\mathrm{out}} = 150 - 80 = 70\\ ^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = T_{h,\mathrm{out}} - T_{c,\mathrm{in}} = 60 - 20 = 40\\ ^\circ\mathrm{C}.
Agora a LMTD (coloco os números na fórmula):
\Delta T_{lm}=\frac{70-40}{\ln\!\left(\dfrac{70}{40}\right)}=\frac{30}{\ln(1{,}75)}.
Calculemos \ln(1{,}75)\approx0{,}559615788, então
\Delta T_{lm}\approx\frac{30}{0{,}559615788}\approx53{,}6243\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Usando \dot Q = U A \Delta T_{lm} para obter a taxa de calor total: todos os símbolos já foram definidos. Substituindo:
\dot Q = (1000)\cdot(2{,}1991148575)\cdot(53{,}6243)\\ \mathrm{W}.
Calculando:
\dot Q \approx 1000\cdot2{,}1991148575\cdot53{,}6243 \approx 117{,}903\\ \mathrm{kW} = 117{,}903\\ \mathrm{W}.
(Arredondei no fim; manterei precisão suficiente.)

Passo 6

Relacionando \dot Q com a vazão mássica do alimento: pela conservação de energia (assumindo sem outras perdas), o calor ganho pelo alimento é
\dot Q = \dot m_c \; c_{p,c}\; (T_{c,\mathrm{out}}-T_{c,\mathrm{in}}),
onde \dot m_c é a vazão mássica do alimento (kg/s) e c_{p,c} está em J/(kg·K). Atenção às unidades: o enunciado deu c_{p,c}=3{,}9\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}, que em J/(kg·K) é c_{p,c}=3900\\ \mathrm{J/(kg\;K)}. A diferença de temperatura do alimento é 80-20=60\\ ^\circ\mathrm{C}. Então isolamos \dot m_c:
\dot m_c=\frac{\dot Q}{c_{p,c}\,(T_{c,\mathrm{out}}-T_{c,\mathrm{in}})}.

Passo 7

Substituindo os valores numéricos na expressão de \dot m_c:
\dot m_c=\frac{117{,}903}{3900\cdot60}\\ \mathrm{kg/s}.
Calculemos o denominador: 3900\cdot60=234{,}000. Então
\dot m_c\approx\frac{117{,}903}{234{,}000}\approx0{,}5039\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando com 3 algarismos significativos: \dot m_c\approx0{,}504\\ \mathrm{kg/s}. Isso responde a parte (a).

Passo 8

Agora a parte (b): explico o raciocínio e por que precisamos usar o método eficácia-NTU para comparar contracorrente e concorrente. A eficácia \epsilon é definida como a razão entre \dot Q real e \dot Q_{\max}, onde \dot Q_{\max}=C_{\min}(T_{h,\mathrm{in}}-T_{c,\mathrm{in}}) e C=\dot m c_p é a taxa de capacidade térmica (W/K). As definições:
C_c=\dot m_c c_{p,c},\qquad C_h=\dot m_h c_{p,h},
C_{\min}=\min(C_c,C_h),\qquad C_{\max}=\max(C_c,C_h),
\epsilon=\frac{\dot Q}{C_{\min}\,(T_{h,\mathrm{in}}-T_{c,\mathrm{in}})}.
Importante: embora não tenhamos c_{p,h} nem \dot m_h isoladamente, podemos usar a conservação de energia para eliminar incógnitas porque \dot Q = C_c (T_{c,\mathrm{out}}-T_{c,\mathrm{in}})=C_h (T_{h,\mathrm{in}}-T_{h,\mathrm{out}}).

Passo 9

Calcule a razão entre C_c e C_h usando as diferenças de temperatura já dadas e a conservação de energia. Temos
C_c=\frac{\dot Q}{T_{c,\mathrm{out}}-T_{c,\mathrm{in}}}=\frac{\dot Q}{60},
C_h=\frac{\dot Q}{T_{h,\mathrm{in}}-T_{h,\mathrm{out}}}=\frac{\dot Q}{90}.
Então
\frac{C_c}{C_h}=\frac{\dot Q/60}{\dot Q/90}=\frac{90}{60}=1{,}5.
Logo C_c>C_h e, portanto, C_{\min}=C_h e C_{\max}=C_c. O fator de razão de capacidades é
C_r=\frac{C_{\min}}{C_{\max}}=\frac{C_h}{C_c}=\frac{1}{1{,}5}=0{,}6666667.

Passo 10

Determine a eficácia necessária para atingir as temperaturas desejadas em concorrente. A eficácia necessária é
\epsilon_{\mathrm{req}}=\frac{\dot Q}{C_{\min}(T_{h,\mathrm{in}}-T_{c,\mathrm{in}})}.
Mas como C_{\min}=C_h=\dot Q/90, obtemos
\epsilon_{\mathrm{req}}=\frac{\dot Q}{(\dot Q/90)\,(150-20)}=\frac{90}{130}= \frac{9}{13}\approx0{,}6923077.
Observação: esse valor é independente do valor numérico de \dot Q — é determinado apenas pelas diferenças de temperatura e pela relação entre C_c e C_h.

Passo 11

Agora a eficácia máxima possível para um trocador em concorrente com razão de capacidades C_r é (limite quando \mathrm{NTU}\to\infty):
\epsilon_{\max,\mathrm{conc}}=\frac{1}{1+C_r}.
Substituindo C_r=0{,}6666667,
\epsilon_{\max,\mathrm{conc}}=\frac{1}{1+0{,}6666667}=\frac{1}{1{,}6666667}=0{,}6.

Passo 12

Comparação crítica: a eficácia necessária \epsilon_{\mathrm{req}}\approx0{,}6923 é maior que a eficácia máxima possível \epsilon_{\max,\mathrm{conc}}=0{,}6 para um trocador em concorrente com essa razão de capacidades. Isso significa que, com o mesmo U e área A (ou seja, com os mesmos parâmetros de troca), não existe nenhum valor finito de vazão mássica do alimento que permita atingir T_{c,\mathrm{out}}=80^\circ\mathrm{C} e T_{h,\mathrm{out}}=60^\circ\mathrm{C} operando em modo concorrente. Em termos práticos: o arranjo concorrente nunca alcançaria aquele aquecimento do fluido frio dado o C_r calculado — mesmo com \mathrm{NTU}\to\infty (área ou U infinitamente grandes) o limite é \epsilon=0{,}6, insuficiente.

Passo 13

Conclusão e incentivo: para obter as mesmas temperaturas na configuração concorrente seria necessário mudar os dados do problema — por exemplo reduzir muito a razão de capacidades (aumentar o fluxo do óleo ou seu c_p), aumentar U e/ou A (área maior ou melhor isolamento/coeficiente), ou aceitar que as temperaturas finais serão diferentes. Mas com os dados dados (mesmo U e A), não há solução numérica para \dot m_c no arranjo concorrente que satisfaça as temperaturas de saída pedidas.

Resposta

(a) \dot m_c\approx0{,}504\\ \mathrm{kg/s}
(b) Impossível atingir T_{c,\mathrm{out}}=80^\circ\mathrm{C} e T_{h,\mathrm{out}}=60^\circ\mathrm{C} em arranjo concorrente com os dados fornecidos: eficácia requerida \epsilon\approx0{,}6923 é maior que o máximo possível \epsilon_{\max}=0{,}6.

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