Em um trocador de calor de correntes opostas de passagem única, um escoamento de água de 4536 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} entra a 15^{\circ} \mathrm{C} e arrefece 9071 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de um óleo com calor específico de 2093 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C} de 93^{\circ} \mathrm{C} para 65^{\circ} \mathrm{C}. Caso o coeficiente global de transferência de calor seja 284 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, determine a área de troca térmica necessária.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a área de troca térmica necessária:
  • Um escoamento de água com vazão mássica \dot{m}_w = 4536\\ \mathrm{kg/h} entra a 15^\circ\mathrm{C}. (dado do enunciado)
  • Um escoamento de óleo com vazão mássica \dot{m}_o = 9071\\ \mathrm{kg/h} entra a 93^\circ\mathrm{C} e sai a 65^\circ\mathrm{C}. (dados do enunciado)
  • Calor específico do óleo c_o = 2093\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}. (dado do enunciado)
  • Coeficiente global de transferência de calor U = 284\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}. (dado do enunciado)
  • O problema pede a área de troca térmica A necessária para que ocorra esse aquecimento/arrefecimento no trocador de correntes opostas de passagem única.
Observações importantes que vou usar sem perguntar: o calor trocado entre óleo (quente) e água (fria) é conservado (não há perdas para o ambiente), e vou assumir o calor específico da água como c_w = 4186\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)} (valor padrão para água líquida à temperatura ambiente).
Agora vamos calcular passo a passo: primeiro a taxa de calor trocada \dot{Q} (usando o óleo), depois a temperatura de saída da água, em seguida o LMTD (diferença de temperatura logarítmica média) para correntes opostas, e finalmente a área A.

Passo 2

Converter vazões mássicas de \mathrm{kg/h} para \mathrm{kg/s} (unidades compatíveis com \mathrm{W}=\mathrm{J/s}):
  • Para a água:
\dot{m}_w = \frac{4536}{3600}\\ \mathrm{kg/s} = 1{,}26\\ \mathrm{kg/s}.
  • Para o óleo:
\dot{m}_o = \frac{9071}{3600}\\ \mathrm{kg/s} \approx 2{,}519722\\ \mathrm{kg/s}.
Expliquei: dividir por 3600 converte horas em segundos.

Passo 3

Calcular a taxa de calor removida do óleo (que é a mesma que a absorvida pela água), usando a equação de balanço térmico sem perdas:
\dot{Q} = \dot{m}_o\, c_o\, \left(T_{o,\text{in}} - T_{o,\text{out}}\right).
Aqui:
  • \dot{m}_o é a vazão mássica do óleo (em \mathrm{kg/s}),
  • c_o é o calor específico do óleo ( \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}),
  • T_{o,\text{in}} = 93^\circ\mathrm{C} e T_{o,\text{out}} = 65^\circ\mathrm{C}.
Substituindo:
\dot{Q} = (2{,}519722)\cdot(2093)\cdot(93-65)\\ \mathrm{W}.
Calculemos passo a passo:
93-65 = 28.
2{,}519722\times 2093 \approx 5273{,}777\\ \mathrm{(kg\cdot J/(s\cdot kg\cdot ^\circ C) = J/(s\cdot ^\circ C))}.
\dot{Q} \approx 5273{,}777 \times 28 \approx 147664{,}0\\ \mathrm{W}.
Portanto:
\dot{Q} \approx 1{,}47664\times 10^{5}\\ \mathrm{W}\\ (\text{aprox. }147{,}7\\ \mathrm{kW}).

Passo 4

Determinar a temperatura de saída da água T_{w,\text{out}} usando conservação de energia:
\dot{Q} = \dot{m}_w\, c_w\, \left(T_{w,\text{out}} - T_{w,\text{in}}\right).
Isolando T_{w,\text{out}}:
T_{w,\text{out}} = T_{w,\text{in}} + \frac{\dot{Q}}{\dot{m}_w\, c_w}.
Substituindo T_{w,\text{in}}=15^\circ\mathrm{C}, \dot{m}_w=1{,}26\\ \mathrm{kg/s} e c_w=4186\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}:
T_{w,\text{out}} = 15 + \frac{147664{,}0}{1{,}26 \times 4186}.
Calculemos o denominador:
1{,}26\times 4186 = 5274{,}36.
\frac{147664{,}0}{5274{,}36} \approx 27{,}97\\ ^\circ\mathrm{C}.
Logo
T_{w,\text{out}} \approx 15 + 27{,}97 \approx 42{,}97^\circ\mathrm{C}.
(Dica didática: fizemos a equação típica de troca entre duas correntes sem perdas; sempre checar unidades para garantir \mathrm{J/s} / (\mathrm{kg/s}\cdot\mathrm{J/(kg\,^\circ C)}) resulta em ^\circ\mathrm{C}.)

Passo 5

Calcular as diferenças de temperatura nas duas extremidades do trocador (para correntes opostas):
Definimos:
  • fluido quente = óleo ( T_{h,\text{in}} = 93^\circ\mathrm{C}, T_{h,\text{out}} = 65^\circ\mathrm{C}),
  • fluido frio = água ( T_{c,\text{in}} = 15^\circ\mathrm{C}, T_{c,\text{out}} \approx 42{,}97^\circ\mathrm{C}).
As diferenças de temperatura nas extremidades são:
\Delta T_1 = T_{h,\text{in}} - T_{c,\text{out}} = 93 - 42{,}97 \approx 50{,}03^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = T_{h,\text{out}} - T_{c,\text{in}} = 65 - 15 = 50^\circ\mathrm{C}.
Como \Delta T_1 e \Delta T_2 são próximas, o LMTD será aproximadamente esse valor, mas vamos calcular exatamente pelo fórmula do LMTD (diferença logarítmica média), que para correntes opostas é:
\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
Substituindo:
\Delta T_{lm} = \frac{50{,}03 - 50}{\ln\!\left(\dfrac{50{,}03}{50}\right)}.
Calculemos:
50{,}03-50 = 0{,}03,
\frac{50{,}03}{50} = 1{,}0006\quad\Rightarrow\quad \ln(1{,}0006)\approx 0{,}00059982.
\Delta T_{lm} \approx \frac{0{,}03}{0{,}00059982} \approx 50{,}03^\circ\mathrm{C}.
Praticamente \Delta T_{lm}\approx 50{,}03^\circ\mathrm{C} (quando as duas diferenças são quase iguais o LMTD tende ao valor próximo a elas).

Passo 6

Calcular a área A com a equação de troca:
\dot{Q} = U\, A\, \Delta T_{lm}.
Isolando A:
A = \frac{\dot{Q}}{U\, \Delta T_{lm}}.
Substituindo \dot{Q}\approx 147664{,}0\\ \mathrm{W}, U=284\\ \mathrm{W/(m^2\,K)} e \Delta T_{lm}\approx 50{,}03\\ \mathrm{K}:
A \approx \frac{147664{,}0}{284 \times 50{,}03}.
Calculemos o denominador:
284\times 50{,}03 \approx 14208{,}52.
A \approx \frac{147664{,}0}{14208{,}52} \approx 10{,}39\\ \mathrm{m^2}.
Arredondamento razoável: A \approx 10{,}4\\ \mathrm{m^2}.

Resposta

A \approx 10{,}39\\ \mathrm{m^2}

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