A parede de um forno industrial compõe-se de: tijolo refratário ( \mathrm{K}_{\text {REFRATÁRIO }}=0,15 \mathrm{Btu} / \mathrm{h} . \mathrm{ft} .{ }^{\circ} \mathrm{F}Á ) de 9^{\prime \prime} de espessura, tijolo isolante de caulim ( \mathrm{K}_{\text {Caulim }}=0,05 \mathrm{Btu} / \mathrm{h} . \mathrm{ft} .{ }^{\circ} \mathrm{F} ) de 4 " de espessura e tijolo isolante de alvenaria ( K_{\text {alvenaria }}=0,38 \mathrm{Btu} / \mathrm{h} . \mathrm{ft} .^{\circ} \mathrm{F} ) de 8 " de espessura na parte externa. A temperatura interna é \mathrm{T}_{1}=400^{\circ} \mathrm{F} e a externa, \mathrm{T}_{4}=70^{\circ} \mathrm{F}. Desprezando a resistência das juntas, determine as temperaturas T_{2} e T_{3} das superfícies intermediárias.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Temperaturas nas superfícies conhecidas:
    • Temperatura interna: \,T_{1}=400^\circ \mathrm{F}.
    • Temperatura externa: \,T_{4}=70^\circ \mathrm{F}.
  • Camadas (da interna para a externa) com condutividades térmicas e espessuras:
    • Tijolo refratário: \,K_{\text{refratário}}=0{,}15\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot^\circ\mathrm{F})á, espessura 9''.
    • Tijolo isolante de caulim: \,K_{\text{caulim}}=0{,}05\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot^\circ\mathrm{F}), espessura 4''.
    • Tijolo isolante de alvenaria (externo): \,K_{\text{alvenaria}}=0{,}38\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot^\circ\mathrm{F}), espessura 8''.
  • Desprezar a resistência das juntas (logo, só condução nas camadas).
  • O que pede: determinar as temperaturas nas superfícies intermediárias \,T_{2} (entre refratário e caulim) e \,T_{3} (entre caulim e alvenaria).

Passo 2

Conceito e fórmula principal (explicação didática curta):
  • Em regime estacionário e com condução unidimensional em camadas planas em série, o fluxo de calor por unidade de área \,q'' é o mesmo através de todas as camadas e é dado por:
q''=\frac{T_{1}-T_{4}}{R_{\text{total}}},
onde a resistência térmica por unidade de área de cada camada é
R_{i}=\frac{L_{i}}{K_{i}},
com \,L_{i} espessura em pés e \,K_{i} condutividade. A resistência total é
R_{\text{total}}=\sum_{i}R_{i}=\sum_{i}\frac{L_{i}}{K_{i}}.
  • A queda de temperatura em cada camada é \Delta T_{i}=q''\,R_{i}. As temperaturas nas interfaces obtêm-se subtraindo essas quedas de \,T_{1}:
T_{2}=T_{1}-\Delta T_{1},\qquad T_{3}=T_{2}-\Delta T_{2}.

Passo 3

Converter espessuras de polegadas para pés e calcular as resistências de cada camada (por unidade de área).
  • Conversões:
    • \,L_{1}=9''=\dfrac{9}{12}\\ \text{ft}=0{,}75\\ \text{ft}.
    • \,L_{2}=4''=\dfrac{4}{12}\\ \text{ft}=0{,}333\overline{3}\\ \text{ft}.
    • \,L_{3}=8''=\dfrac{8}{12}\\ \text{ft}=0{,}666\overline{6}\\ \text{ft}.
  • Resistências:
    • R_{1}=\frac{L_{1}}{K_{\text{refratário}}}=\frac{0{,}75}{0{,}15}=5{,}0á
    • R_{2}=\frac{L_{2}}{K_{\text{caulim}}}=\frac{0{,}333\overline{3}}{0{,}05}=6{,}666\overline{6}
    • R_{3}=\frac{L_{3}}{K_{\text{alvenaria}}}=\frac{0{,}666\overline{6}}{0{,}38}\approx1{,}754385965
(As unidades de R_i são \mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^2\cdot^\circ\mathrm{F}/\mathrm{Btu} por unidade de área; aqui tratamos por unidade de área.)

Passo 4

Calcular a resistência total e o fluxo de calor por unidade de área.
  • Resistência total:
R_{\text{total}}=R_{1}+R_{2}+R_{3}=5{,}0+6{,}666\overline{6}+1{,}754385965\approx13{,}42105263.
  • Diferença de temperatura total:
\Delta T_{\text{total}}=T_{1}-T_{4}=400-70=330\\ ^\circ\mathrm{F}.
  • Fluxo de calor por unidade de área:
q''=\frac{\Delta T_{\text{total}}}{R_{\text{total}}}=\frac{330}{13{,}42105263}\approx24{,}593\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^2).

Passo 5

Calcular as quedas de temperatura em cada camada e as temperaturas nas interfaces.
  • Queda na camada 1 (refratário):
\Delta T_{1}=q''R_{1}\approx24{,}593\times5{,}0\approx122{,}965\\ ^\circ\mathrm{F}.
Logo
T_{2}=T_{1}-\Delta T_{1}=400-122{,}965\approx277{,}035\\ ^\circ\mathrm{F}.
  • Queda na camada 2 (caulim):
\Delta T_{2}=q''R_{2}\approx24{,}593\times6{,}666\overline{6}\approx163{,}954\\ ^\circ\mathrm{F}.
Logo
T_{3}=T_{2}-\Delta T_{2}\approx277{,}035-163{,}954\approx113{,}081\\ ^\circ\mathrm{F}.
  • (Queda na camada 3 para conferência)
\Delta T_{3}=q''R_{3}\approx24{,}593\times1{,}754385965\approx43{,}000\\ ^\circ\mathrm{F},
e \Delta T_{1}+\Delta T_{2}+\Delta T_{3}\approx122{,}965+163{,}954+43{,}081\approx330\\ ^\circ\mathrm{F}, que confirma a consistência (diferenças por arredondamento).

Passo 6

Resumo didático-final: as temperaturas nas superfícies intermediárias foram obtidas calculando-se a resistência térmica de cada camada, o fluxo de calor por unidade de área e então as quedas de temperatura em cada camada. Esse procedimento vale para qualquer parede em camadas em série — em prova, identifique as camadas, converta unidades, calcule R_i=L_i/K_i, some para R_{\text{total}}, encontre q''=(T_{\text{quente}}-T_{\text{fria}})/R_{\text{total}} e depois as quedas \Delta T_i=q''R_i.

Resposta

T_{2}\approx277{,}04^\circ \mathrm{F}
T_{3}\approx113{,}08^\circ \mathrm{F}

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