EXERCÍCIO 12
O estado de deformação no ponto da barra tem componentes de \varepsilon_{x}=180 \times 10^{-6}, \varepsilon_{y}=-120 \times 10^{-6} e \gamma_{x y}=-100 \times 10^{-6}. Use o círculo de Mohr para determinar
Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações deformam o elemento dentro do plano \mathrm{x}-\mathrm{y}.
(b) a deformação de cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média.

Passo 1

O enunciado (parte (b)) nos dá os valores das componentes de deformação no ponto da barra e pede duas quantidades: a deformação de cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Dados fornecidos:
  • \varepsilon_{x}=180\times10^{-6}
  • \varepsilon_{y}=-120\times10^{-6}
  • \gamma_{xy}=-100\times10^{-6}
O que preciso entregar nesta parte:
  • a deformação de cisalhamento máxima no plano (valor e orientação do elemento onde ela ocorre);
  • a deformação normal média.

Passo 2

Breve explicação do método (círculo de Mohr para deformações) e fórmulas que vamos usar, com significado das grandezas:
  • A deformação normal média (ou média dos valores normais) é
\bar{\varepsilon}=\frac{\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}}{2},
onde \bar{\varepsilon} representa a parte isotrópica (dilatação média) da deformação no plano x\!-\!y.
  • No círculo de Mohr para deformações usamos como coordenadas: eixo horizontal = deformação normal \varepsilon e eixo vertical = metade da deformação de cisalhamento \gamma/2. O raio do círculo é
R=\sqrt{\left(\frac{\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^{2}}.
  • A maior deformação de cisalhamento de engenharia (isto é, a mudança no ângulo reto entre direções, notada \gamma_{\max}) corresponde a duas vezes o raio do círculo:
\gamma_{\max}=2R=\sqrt{(\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y})^{2}+\gamma_{xy}^{2}}.
  • As direções principais (onde o cisalhamento é zero) satisfazem
\tan(2\theta_{p})=\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}},
onde \theta_{p} é o ângulo entre o eixo x e o eixo principal (plano onde a deformação normal é extrema). As direções de máxima deformação de cisalhamento no plano x\!-\!y são \theta_{s}=\theta_{p}\pm 45^\circ.
  • Observação sobre sinais: \gamma_{xy} é a deformação de cisalhamento de engenharia tal como dada; usar directamente nos fórmulas acima.

Passo 3

Calcular a deformação normal média:
\bar{\varepsilon}=\frac{\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}}{2} =\frac{180\times10^{-6}+(-120\times10^{-6})}{2} =\frac{60\times10^{-6}}{2}=30\times10^{-6}.
Portanto a deformação normal média é \bar{\varepsilon}=30\times10^{-6}.

Passo 4

Calcular a diferença entre \varepsilon_{x} e \varepsilon_{y} e preparar o cálculo da \gamma_{\max}:
\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}=180\times10^{-6}-(-120\times10^{-6})=300\times10^{-6}.
Agora usar a fórmula direta para \gamma_{\max}:
\gamma_{\max}=\sqrt{(\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y})^{2}+\gamma_{xy}^{2}} =\sqrt{(300\times10^{-6})^{2}+(-100\times10^{-6})^{2}}.
Calculemos os quadrados:
(300\times10^{-6})^{2}=9{,}00\times10^{-8}, \qquad (100\times10^{-6})^{2}=1{,}00\times10^{-8}.
Soma:
9{,}00\times10^{-8}+1{,}00\times10^{-8}=1{,}00\times10^{-7}.
Raiz:
\gamma_{\max}=\sqrt{1{,}00\times10^{-7}}=3{,}16227766\times10^{-4}=316{,}227766\times10^{-6}.
Arredondando razoavelmente:
\gamma_{\max}\approx316{,}23\times10^{-6}.

Passo 5

Determinar a orientação do elemento onde ocorre a deformação de cisalhamento máxima:
  • Primeiro encontramos a direção principal \theta_{p} (onde o cisalhamento no elemento é zero) usando
\tan(2\theta_{p})=\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}} =\frac{-100\times10^{-6}}{300\times10^{-6}}=-\frac{1}{3}\approx-0{,}333333.
Tomando arco-tangente:
2\theta_{p}=\arctan(-0{,}333333)\approx-18{,}43494882^\circ,
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\theta_{p}\approx-9{,}2174744^\circ.
  • As direções de máxima deformação de cisalhamento são \theta_{s}=\theta_{p}\pm45^\circ. Assim as duas orientações (ambas equivalentes em sentido oposto) são:
\theta_{s1}\approx-9{,}217^\circ+45^\circ=35{,}783^\circ,
\theta_{s2}\approx-9{,}217^\circ-45^\circ=-54{,}217^\circ.
Podemos também expressar em radianos, se preferir:
\theta_{s1}\approx0{,}6246\\ \text{rad},\qquad \theta_{s2}\approx-0{,}9468\\ \text{rad}.
Interpretação prática: um pequeno elemento retangular orientado com um dos lados formando \theta_{s1} (aprox. 35{,}78^\circ) com o eixo x sofrerá a máxima distorção angular (maior cisalhamento).

Passo 6

Calcular também, para clareza didática, os valores das deformações principais (úteis para descrever como o elemento se deforma):
  • O raio do círculo é
R=\frac{\gamma_{\max}}{2}=\frac{316{,}227766\times10^{-6}}{2}=158{,}113883\times10^{-6}.
  • As deformações principais são
\varepsilon_{1,2}=\bar{\varepsilon}\pm R
ou seja
\varepsilon_{1}=30\times10^{-6}+158{,}113883\times10^{-6}=188{,}113883\times10^{-6}\approx188{,}11\times10^{-6},
\varepsilon_{2}=30\times10^{-6}-158{,}113883\times10^{-6}=-128{,}113883\times10^{-6}\approx-128{,}11\times10^{-6}.
Significado físico resumido (como desenhar/imaginar a deformação no plano x\!-\!y):
  • A componente \bar{\varepsilon}=30\times10^{-6} representa uma dilatação isotrópica pequena (o quadrado original cresce levemente em todas as direções).
  • A parte deviadora (representada por R e pelas direções principais) alonga o elemento numa direção principal ( \varepsilon_{1}\approx188{,}11\times10^{-6}) e comprime na direção perpendicular ( \varepsilon_{2}\approx-128{,}11\times10^{-6}).
  • Se o elemento for colocado com seus lados formando \theta_{s1}\approx35{,}78^\circ com o eixo x, ele sofrerá a maior distorção angular: o ângulo reto entre os lados mudará aproximadamente \gamma_{\max} em radianos ( \approx3{,}1623\times10^{-4}\\ \text{rad}, ou \approx0{,}0181^\circ), transformando o quadrado em um paralelogramo mais pronunciado nessa orientação.

Resposta

\gamma_{\max}=316{,}23\times10^{-6} (deformação de cisalhamento máxima, ocorre em planos com \theta\approx35{,}78^\circ e \theta\approx-54{,}22^\circ medidos desde o eixo x).
\bar{\varepsilon}=30\times10^{-6} (deformação normal média).

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