EXERCÍCIO 12
O estado de deformação no ponto da barra tem componentes de
e
. Use o círculo de Mohr para determinar
Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações deformam o elemento dentro do plano
.
(b) a deformação de cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média.
Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações deformam o elemento dentro do plano
Passo 1
O enunciado (parte (b)) nos dá os valores das componentes de deformação no ponto da barra e pede duas quantidades: a deformação de cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Dados fornecidos:
O que preciso entregar nesta parte:
- a deformação de cisalhamento máxima no plano (valor e orientação do elemento onde ela ocorre);
- a deformação normal média.
Passo 2
Breve explicação do método (círculo de Mohr para deformações) e fórmulas que vamos usar, com significado das grandezas:
- A deformação normal média (ou média dos valores normais) é
onde
representa a parte isotrópica (dilatação média) da deformação no plano
.
- No círculo de Mohr para deformações usamos como coordenadas: eixo horizontal = deformação normal
e eixo vertical = metade da deformação de cisalhamento . O raio do círculo é
- A maior deformação de cisalhamento de engenharia (isto é, a mudança no ângulo reto entre direções, notada
) corresponde a duas vezes o raio do círculo:
- As direções principais (onde o cisalhamento é zero) satisfazem
onde
é o ângulo entre o eixo
e o eixo principal (plano onde a deformação normal é extrema). As direções de máxima deformação de cisalhamento no plano
são
.
- Observação sobre sinais:
é a deformação de cisalhamento de engenharia tal como dada; usar directamente nos fórmulas acima.
Passo 3
Calcular a deformação normal média:
Portanto a deformação normal média é
.
Passo 4
Calcular a diferença entre
e
e preparar o cálculo da
:
Agora usar a fórmula direta para
:
Calculemos os quadrados:
Soma:
Raiz:
Arredondando razoavelmente:
Passo 5
Determinar a orientação do elemento onde ocorre a deformação de cisalhamento máxima:
- Primeiro encontramos a direção principal
(onde o cisalhamento no elemento é zero) usando
Tomando arco-tangente:
logo
- As direções de máxima deformação de cisalhamento são
. Assim as duas orientações (ambas equivalentes em sentido oposto) são:
Podemos também expressar em radianos, se preferir:
Interpretação prática: um pequeno elemento retangular orientado com um dos lados formando
(aprox.
) com o eixo
sofrerá a máxima distorção angular (maior cisalhamento).
Passo 6
Calcular também, para clareza didática, os valores das deformações principais (úteis para descrever como o elemento se deforma):
- O raio do círculo é
- As deformações principais são
ou seja
Significado físico resumido (como desenhar/imaginar a deformação no plano
):
- A componente
representa uma dilatação isotrópica pequena (o quadrado original cresce levemente em todas as direções). - A parte deviadora (representada por
e pelas direções principais) alonga o elemento numa direção principal ( ) e comprime na direção perpendicular ( ). - Se o elemento for colocado com seus lados formando
com o eixo , ele sofrerá a maior distorção angular: o ângulo reto entre os lados mudará aproximadamente em radianos ( , ou ), transformando o quadrado em um paralelogramo mais pronunciado nessa orientação.