EXERCÍCIO 7
A viga de seção tubular está sujeita à força de 26 kN aplicada no centro de sua largura, 75 mm de cada lado. Determine as tensões principais no ponto \mathbf{A} e mostre os resultados em um elemento localizado nesse ponto.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as tensões principais no ponto A da viga e representar esses valores num elemento localizado nesse ponto.
Informações relevantes fornecidas (peguei estes dados da imagem):
  • Força aplicada na extremidade da viga: \;26\\ \text{kN}, inclinada segundo o triângulo 5\!:\!12\!:\!13.
  • Distâncias ao longo da viga: fixo à esquerda até a seção onde está A = 2\\ \text{m}; da seção onde está A até a carga = 3\\ \text{m}.
  • Seção transversal: seção tubular quadrada com lado externo 150\\ \text{mm} e lado interno 130\\ \text{mm}. Logo a espessura da parede é \;t=(150-130)/2=10\\ \text{mm}.
  • Posição do ponto A no topo da face superior, aproximadamente no centro da espessura (ou seja, no plano mediano da parede superior).
  • Observação (usada nas contas): porque a inclinação é 5\!:\!12\!:\!13, os componentes da força são \;F_x=26\cdot\frac{12}{13} (axial, para a esquerda) e \;F_z=26\cdot\frac{5}{13} (vertical, para baixo).
Nada mais será resolvido neste passo — a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Determinar os esforços internos na seção que passa pelo ponto A (seção a 2\\ \text{m} do apoio, ou seja a 3\\ \text{m} da carga). Primeiro calcular os componentes da força e os esforços resultantes.
Cálculo dos componentes da força (usei o triângulo 5\!:\!12\!:\!13 mostrado na imagem):
F_x = 26\cdot\frac{12}{13}=26\cdot\frac{12}{13}=24\\ \text{kN}, \qquad F_z = 26\cdot\frac{5}{13}=10\\ \text{kN}.
Sinais e interpretação: F_x é ao longo do eixo da viga (para a esquerda) — gera esforço normal axial (compressão). F_z é vertical para baixo — gera esforço cortante V e momento fletor M.
Converter para unidades SI (N e mm):
F_x=24000\\ \text{N},\qquad F_z=10000\\ \text{N}.
No plano da seção a 3\\ \text{m}=3000\\ \text{mm} da carga, os esforços internos são:
  • Força axial (normal): N = -F_x = -24000\\ \text{N} (sinal negativo = compressão).
  • Força cortante vertical: V = F_z = 10000\\ \text{N} (para baixo).
  • Momento fletor devido a F_z: M = -F_z\cdot 3000\\ \text{mm} = -10000\cdot3000 = -30\,000\,000\\ \text{N}\cdot\text{mm}. (sinal negativo indica sentido de compressão na face superior; usaremos valor absoluto quando necessário, mantendo sinal para orientar compressão/tensão).

Passo 3

Calcular propriedades geométricas da seção (área e momento de inércia), que serão usadas nas fórmulas de tensão.
Área da seção tubular (área externa menos interna):
A = 150^2 - 130^2 = 22500 - 16900 = 5600\\ \text{mm}^2.
Momento de inércia em relação ao eixo horizontal que passa pelo centro (eixo que gera tensões por flexão vertical; a seção é quadrada simétrica, então o mesmo I vale para o eixo horizontal ou vertical):
I = \frac{150^4 - 130^4}{12}.
Calcular numericamente:
150^4=506\,250\,000,\qquad 130^4=285\,610\,000,
I=\frac{506\,250\,000 - 285\,610\,000}{12}=\frac{220\,640\,000}{12}=18\,386\,666{,}6667\\ \text{mm}^4.
Posição do ponto A usada nas fórmulas: ponto A está no centro da espessura da parede superior.
  • Meia-altura externa (do centro da seção até a face externa superior): 75\\ \text{mm}.
  • Distância do centro até o centro da espessura da parede superior: z_A = 75 - \tfrac{t}{2} = 75 - 5 = 70\\ \text{mm}.

Passo 4

Calcular as tensões normais (devidas a axial + flexão) no ponto A.
Fórmulas e significado:
  • Tensão axial média: \displaystyle \sigma_N=\frac{N}{A}, onde N é força normal (positiva em tração) e A é área da seção.
  • Tensão por flexão (fórmula de viga): \displaystyle \sigma_M = -\frac{M\,z}{I}, onde M é o momento fletor (positivo se gera tração na fibra superior — dependendo da convenção; aqui usamos o sinal calculado), z é a coordenada vertical do ponto medida a partir do eixo neutro (positiva para cima) e I é o momento de inércia. O sinal indica se a fibra está tracionada ou comprimida.
Calcular \sigma_N:
\sigma_N = \frac{N}{A} = \frac{-24000}{5600} = -4{,}2857142857\\ \text{N/mm}^2 = -4{,}2857\\ \text{MPa}.
(negativo = compressão média).
Calcular \sigma_M no ponto A ( z_A=70\\ \text{mm}):
\sigma_M = -\frac{M\,z_A}{I} = -\frac{(-30\,000\,000)\cdot 70}{18\,386\,666{,}6667} = -\frac{-2\,100\,000\,000}{18\,386\,666{,}6667} = -114{,}181818\\ \text{MPa}.
Interpretação do sinal: com o momento negativo e z_A>0 obtemos compressão no ponto A (o resultado é negativo).
Tensão normal total no ponto A (componente longitudinal \sigma_x):
\sigma_x = \sigma_N + \sigma_M = -4{,}2857 -114{,}1818 = -118{,}4675\\ \text{MPa}.
Arredondando convenientemente: \sigma_x \approx -118{,}47\\ \text{MPa} (compressão).

Passo 5

Calcular a tensão de cisalhamento longitudinal \tau_{xz} no ponto A devido à força cortante V.
Fórmula usada (teorema da linha de cisalhamento):
\tau = \frac{V\,Q}{I\,t},
onde:
  • V é a força cortante total ( 10000\\ \text{N}),
  • Q é o primeiro momento da área acima (ou abaixo) do plano onde a tensão é avaliada, em relação ao eixo neutro,
  • I é o momento de inércia da seção (já calculado),
  • t é a espessura local na parede onde se calcula \tau (aqui t=10\\ \text{mm}).
Cálculo de Q para o ponto na mediana da parede superior:
  • A porção de área acima da linha que atravessa o centro da espessura da parede superior é a metade superior da própria parede superior (não existem outras áreas acima dela porque o interior é vazio).
  • Área dessa metade superior: A' = \text{largura}\cdot\frac{t}{2}=150\cdot5=750\\ \text{mm}^2.
  • Distância do eixo neutro até o centróide dessa meia-placa: z_{c}=75 - \tfrac{t}{4}=75 - 2{,}5 = 72{,}5\\ \text{mm}.
  • Logo Q=A'\cdot z_c = 750\cdot72{,}5 = 54\,375\\ \text{mm}^3.
Agora:
\tau_{xz} = \frac{10000\cdot 54\,375}{18\,386\,666{,}6667\cdot 10} = \frac{543\,750\,000}{183\,866\,666{,}667} \approx 2{,}956\\ \text{MPa}.
Portanto a tensão de cisalhamento longitudinal no ponto A (no centro da parede superior) é \tau_{xz}\approx 2{,}96\\ \text{MPa}.
Observação física: a tensão de cisalhamento é pequena em comparação com a tensão normal de flexão no topo, o que é comum (máximo de cisalhamento normalmente próximo ao centro da seção, não na fibra externa).

Passo 6

Determinar as tensões principais a partir do estado plano de tensões no ponto A.
No elemento considerado (planar, com componentes \sigma_x e \tau_{xz}, assumindo \sigma_z\approx 0 para o plano ortogonal), as tensões principais \sigma_{1,2} são dadas por:
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_z}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_z}{2}\right)^2+\tau_{xz}^2}.
Aqui \sigma_z=0, então:
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2+\tau_{xz}^2}.
Substituindo \sigma_x=-118{,}4675\\ \text{MPa} e \tau_{xz}=2{,}956\\ \text{MPa}:
\frac{\sigma_x}{2}=-59{,}2338\\ \text{MPa},
\sqrt{\left(-59{,}2338\right)^2+(2{,}956)^2} =\sqrt{3508{,}6 + 8{,}737}=\sqrt{3517{,}337}\approx 59{,}329\\ \text{MPa}.
Assim:
\sigma_1 = -59{,}2338 + 59{,}329 \approx 0{,}095\\ \text{MPa},
\sigma_2 = -59{,}2338 - 59{,}329 \approx -118{,}563\\ \text{MPa}.
Interpretação: uma tensão principal quase nula e ligeiramente positiva (tração muito pequena) e outra grande e compressiva (≈ -118{,}6\\ \text{MPa}). Ou seja, o estado é dominado por compressão longitudinal com pequeno cisalhamento que desloca ligeiramente as direções principais.
Também calcular o ângulo das direções principais (medido a partir do eixo longitudinal x):
\tan(2\theta_p)=\frac{2\tau_{xz}}{\sigma_x-\sigma_z}=\frac{2\tau_{xz}}{\sigma_x}.
\tan(2\theta_p)=\frac{2\cdot 2{,}956}{-118{,}4675}=-0{,}04994.
2\theta_p=\arctan(-0{,}04994)\approx -2{,}861^\circ, \qquad \theta_p\approx -1{,}43^\circ.
Significado: as direções principais estão rotacionadas cerca de -1{,}43^\circ (pequeno ângulo) em relação ao eixo longitudinal; portanto o elemento com tensões principais está praticamente alinhado com a viga.

Passo 7

Representação do elemento no ponto A (descrição dos resultados que seriam desenhados num elemento centrado em A):
  • Direção principal 1 (quase alinhada com o eixo longitudinal, girada \theta_p\approx -1{,}43^\circ): \sigma_1 \approx +0{,}095\\ \text{MPa} (tração muito pequena).
  • Direção principal 2 (perpendicular à anterior): \sigma_2 \approx -118{,}563\\ \text{MPa} (compressão intensa).
  • Nas faces orientadas segundo as direções principais a tensão de cisalhamento é zero (propriedade das direções principais).
Estas são as tensões que devem ser marcadas no elemento centrado em A.

Resposta

\sigma_1 = 0{,}095\\ \text{MPa}
\sigma_2 = -118{,}563\\ \text{MPa}
\theta_p = -1{,}43^\circ (ângulo da direção de \sigma_1 relativo ao eixo longitudinal)

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