EXERCÍCIO 7
A viga de seção tubular está sujeita à força de 26 kN aplicada no centro de sua largura, 75 mm de cada lado. Determine as tensões principais no ponto
e mostre os resultados em um elemento localizado nesse ponto.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as tensões principais no ponto
da viga e representar esses valores num elemento localizado nesse ponto.
Informações relevantes fornecidas (peguei estes dados da imagem):
- Força aplicada na extremidade da viga:
, inclinada segundo o triângulo . - Distâncias ao longo da viga: fixo à esquerda até a seção onde está
= ; da seção onde está até a carga = . - Seção transversal: seção tubular quadrada com lado externo
e lado interno . Logo a espessura da parede é . - Posição do ponto
no topo da face superior, aproximadamente no centro da espessura (ou seja, no plano mediano da parede superior). - Observação (usada nas contas): porque a inclinação é
, os componentes da força são (axial, para a esquerda) e (vertical, para baixo).
Nada mais será resolvido neste passo — a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Determinar os esforços internos na seção que passa pelo ponto
(seção a
do apoio, ou seja a
da carga). Primeiro calcular os componentes da força e os esforços resultantes.
Cálculo dos componentes da força (usei o triângulo
mostrado na imagem):
Sinais e interpretação:
é ao longo do eixo da viga (para a esquerda) — gera esforço normal axial (compressão).
é vertical para baixo — gera esforço cortante
e momento fletor
.
Converter para unidades SI (N e mm):
No plano da seção a
da carga, os esforços internos são:
- Força axial (normal):
(sinal negativo = compressão). - Força cortante vertical:
(para baixo). - Momento fletor devido a
: . (sinal negativo indica sentido de compressão na face superior; usaremos valor absoluto quando necessário, mantendo sinal para orientar compressão/tensão).
Passo 3
Calcular propriedades geométricas da seção (área e momento de inércia), que serão usadas nas fórmulas de tensão.
Área da seção tubular (área externa menos interna):
Momento de inércia em relação ao eixo horizontal que passa pelo centro (eixo que gera tensões por flexão vertical; a seção é quadrada simétrica, então o mesmo
vale para o eixo horizontal ou vertical):
Calcular numericamente:
Posição do ponto
usada nas fórmulas: ponto
está no centro da espessura da parede superior.
- Meia-altura externa (do centro da seção até a face externa superior):
. - Distância do centro até o centro da espessura da parede superior:
Passo 4
Calcular as tensões normais (devidas a axial + flexão) no ponto
.
Fórmulas e significado:
- Tensão axial média:
, onde é força normal (positiva em tração) e é área da seção. - Tensão por flexão (fórmula de viga):
, onde é o momento fletor (positivo se gera tração na fibra superior — dependendo da convenção; aqui usamos o sinal calculado), é a coordenada vertical do ponto medida a partir do eixo neutro (positiva para cima) e é o momento de inércia. O sinal indica se a fibra está tracionada ou comprimida.
Calcular
:
(negativo = compressão média).
Calcular
no ponto
(
):
Interpretação do sinal: com o momento negativo e
obtemos compressão no ponto
(o resultado é negativo).
Tensão normal total no ponto
(componente longitudinal
):
Arredondando convenientemente:
(compressão).
Passo 5
Calcular a tensão de cisalhamento longitudinal
no ponto
devido à força cortante
.
Fórmula usada (teorema da linha de cisalhamento):
onde:
-
é a força cortante total ( ), -
é o primeiro momento da área acima (ou abaixo) do plano onde a tensão é avaliada, em relação ao eixo neutro, -
é o momento de inércia da seção (já calculado), -
é a espessura local na parede onde se calcula (aqui ).
Cálculo de
para o ponto na mediana da parede superior:
- A porção de área acima da linha que atravessa o centro da espessura da parede superior é a metade superior da própria parede superior (não existem outras áreas acima dela porque o interior é vazio).
- Área dessa metade superior:
. - Distância do eixo neutro até o centróide dessa meia-placa:
- Logo
Agora:
Portanto a tensão de cisalhamento longitudinal no ponto
(no centro da parede superior) é
.
Observação física: a tensão de cisalhamento é pequena em comparação com a tensão normal de flexão no topo, o que é comum (máximo de cisalhamento normalmente próximo ao centro da seção, não na fibra externa).
Passo 6
Determinar as tensões principais a partir do estado plano de tensões no ponto
.
No elemento considerado (planar, com componentes
e
, assumindo
para o plano ortogonal), as tensões principais
são dadas por:
Aqui
, então:
Substituindo
e
:
Assim:
Interpretação: uma tensão principal quase nula e ligeiramente positiva (tração muito pequena) e outra grande e compressiva (≈
). Ou seja, o estado é dominado por compressão longitudinal com pequeno cisalhamento que desloca ligeiramente as direções principais.
Também calcular o ângulo das direções principais (medido a partir do eixo longitudinal
):
Significado: as direções principais estão rotacionadas cerca de
(pequeno ângulo) em relação ao eixo longitudinal; portanto o elemento com tensões principais está praticamente alinhado com a viga.
Passo 7
Representação do elemento no ponto
(descrição dos resultados que seriam desenhados num elemento centrado em
):
- Direção principal 1 (quase alinhada com o eixo longitudinal, girada
): (tração muito pequena). - Direção principal 2 (perpendicular à anterior):
(compressão intensa). - Nas faces orientadas segundo as direções principais a tensão de cisalhamento é zero (propriedade das direções principais).
Estas são as tensões que devem ser marcadas no elemento centrado em
.