Para o mesmo óleo do problema anterior e tubo de igual seção transversal, mas vazão de 5 \mathrm{l} / \mathrm{s}, determinar:
a) A distribuição de velocidade na seção transversal;
b) A tensão tangencial no contorno do tubo;
c) A perda de carga unitária.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para o mesmo óleo do problema anterior e um tubo de mesma seção, com vazão 5\\ \mathrm{l/s}:
  • (a) a distribuição de velocidade na seção transversal;
  • (b) a tensão tangencial no contorno do tubo (tensão de cisalhamento na parede);
  • (c) a perda de carga unitária (por comprimento).
Informações explicitamente dadas neste enunciado:
Q = 5\\ \mathrm{l/s} = 0,005\\ \mathrm{m^3/s}.
Informações que o enunciado refere-se ao “mesmo óleo do problema anterior” e à “tubo de igual seção” mas que NÃO foram fornecidas aqui e são necessárias para um cálculo numérico:
  • viscosidade dinâmica do óleo \mu (em \mathrm{Pa\cdot s});
  • massa específica do óleo \rho (em \mathrm{kg/m^3});
  • geometria do tubo (raio R ou diâmetro D).
Como não tenho os valores de \mu, \rho e R (estes dependem do problema anterior), não é possível fornecer resultados numéricos finais. Vou, então, derivar passo a passo as fórmulas corretas (a)–(c) em termos de Q,\;R,\;\mu,\;\rho e mostrar exatamente como calcular os números assim que você tiver os dados faltantes. Eu também explico cada conceito e cada fórmula para você entender e poder aplicar na prova.

Passo 2

Assumimos o caso clássico de escoamento interno, permanente, incompressível e de um fluido Newtoniano, totalmente desenvolvido axialmente em um tubo circular de raio R. Essas hipóteses são comuns em provas e permitem usar o resultado de Poiseuille (perfil parabólico). Vou explicar por que cada hipótese importa:
  • “Permanentemente” significa que nada depende do tempo, só da posição.
  • “Incompressível” facilita porque a vazão é a mesma em qualquer seção.
  • “Newtoniano” significa que a tensão viscosa é proporcional ao gradiente de velocidade com a constante de proporcionalidade \mu.
  • “Totalmente desenvolvido” significa que as derivadas axiais da velocidade são nulas e o perfil é função apenas do raio r.
    Se o escoamento não for laminar (isto é, se \mathrm{Re} for grande), o perfil muda; a condição de laminaridade é verificada com
\mathrm{Re}=\frac{\rho U D}{\mu},
onde U=Q/(\pi R^{2}) é a velocidade média e D=2R. Para escoamento laminar em tubos, geralmente \mathrm{Re}<2300.

Passo 3

Derivação do perfil de velocidade (aula rápida e direta).
Equação diferencial (forma reduzida da equação de Navier–Stokes para escoamento axial plenamente desenvolvido em coordenadas cilíndricas):
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right)=\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dx},
onde:
  • u(r) é a velocidade axial como função do raio r ( 0\le r\le R);
  • \mu é a viscosidade dinâmica;
  • dp/dx é o gradiente de pressão ao longo do tubo (constante em escoamento totalmente desenvolvido).
Integramos duas vezes. Escreva G=-\dfrac{dp}{dx} (com G\ge0 quando a pressão decresce no sentido do escoamento). A solução que satisfaz a condição de regularidade em r=0 e a condição de não deslizamento u(R)=0 é
u(r)=\frac{G}{4\mu}\left(R^{2}-r^{2}\right).
Explicando: o termo (R^{2}-r^{2}) dá um perfil parabólico com máximo no centro (r=0) e zero na parede (r=R). A constante G/(4\mu) determina a escala da velocidade.

Passo 4

Expressão do perfil em função da vazão Q (útil, pois Q é dado).
A vazão volumétrica é
Q=\int_{0}^{R}2\pi r\,u(r)\,dr.
Substituindo u(r)=\dfrac{G}{4\mu}(R^{2}-r^{2}) obtemos (fazendo a integral)
Q=\frac{\pi G R^{4}}{8\mu}.
Isolando G:
G=-\frac{dp}{dx}=\frac{8\mu Q}{\pi R^{4}}.
Voltando ao perfil u(r) e substituindo G:
u(r)=\frac{2Q}{\pi R^{2}}\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right).
Observações úteis que sempre caem na prova:
  • velocidade média \displaystyle U=\frac{Q}{\pi R^{2}};
  • velocidade de centro \displaystyle u_{\max}=u(0)=\frac{2Q}{\pi R^{2}}=2U.
    Portanto o perfil em termos de U é
u(r)=2U\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right)=U\left(2-2\frac{r^{2}}{R^{2}}\right).

Passo 5

Tensão tangencial (cisalhamento) na parede (parte b) — passo a passo.
A tensão de cisalhamento (componente \tau_{rz}) é dada por
\tau_{rz}(r)=\mu\frac{du}{dr}.
Derivando u(r)=\dfrac{G}{4\mu}(R^{2}-r^{2}) obtemos
\frac{du}{dr}=-\frac{G}{2\mu}\,r.
Logo, na parede r=R a tensão (magnitude) é
\tau_{w}=|\tau_{rz}(R)|=\mu\left|\frac{du}{dr}\Big|_{r=R}\right|=\mu\cdot\frac{G}{2\mu}\,R=\frac{G\,R}{2}.
Substituindo G=\dfrac{8\mu Q}{\pi R^{4}} obtemos outra forma útil:
\tau_{w}=\frac{4\mu Q}{\pi R^{3}}.
Ainda outra forma, usando gradiente de pressão \Delta p/L (se quiser trabalhar com queda de pressão sobre comprimento L):
\tau_{w}=\frac{\Delta p}{2L}\,R.

Passo 6

Perda de carga unitária (parte c) — expressão e formas alternativas.
A perda de carga por unidade de comprimento h_f' (ou seja h_f/L) está ligada ao gradiente de pressão por
h_f'=\frac{1}{\rho g}\left(-\frac{dp}{dx}\right)=\frac{G}{\rho g}.
Substituindo G=\dfrac{8\mu Q}{\pi R^{4}} obtemos a forma direta em termos de Q:
h_f'=\frac{8\mu Q}{\pi R^{4}\rho g}.
Em termos da velocidade média U=Q/(\pi R^{2}) e do raio R temos
h_f'=\frac{8\mu U}{\rho g R^{2}}.
Expressão em termos do número de Reynolds e da fórmula de Darcy–Weisbach: para escoamento laminar em tubo circular o fator de atrito de Darcy é
f=\frac{64}{\mathrm{Re}},
com \mathrm{Re}=\dfrac{\rho U D}{\mu} e D=2R. A perda de carga por comprimento também pode ser escrita como
h_f' = f\frac{U^{2}}{2gD}.
Se você calcular \mathrm{Re} e usar f=64/\mathrm{Re} as duas fórmulas são equivalentes e dão o mesmo resultado que a expressão direta acima.

Passo 7

Guia prático (passo-a-passo) para obter os valores numéricos na prova — o que fazer com os dados que você tiver:
  1. Converta a vazão: Q=5\\ \mathrm{l/s}=0,005\\ \mathrm{m^3/s}.
  2. Obtenha o raio R do tubo (ou o diâmetro D); calcule U=Q/(\pi R^{2}).
  3. Pegue \mu e \rho do óleo (do enunciado anterior ou tabela).
  4. Calcule \mathrm{Re}=\rho U D/\mu para verificar condição laminar ( \mathrm{Re}<2300).
  5. Use as fórmulas já fornecidas:
    • perfil de velocidade: u(r)=\dfrac{2Q}{\pi R^{2}}\!\left(1-\dfrac{r^{2}}{R^{2}}\right);
    • tensão na parede: \tau_{w}=\dfrac{4\mu Q}{\pi R^{3}};
    • perda de carga por comprimento: h_f'=\dfrac{8\mu Q}{\pi R^{4}\rho g} ou h_f'=\dfrac{8\mu U}{\rho g R^{2}}.
  6. Substitua números e calcule. Se quiser, me dê \mu,\rho,R e eu faço os cálculos numéricos para você.

Resposta

(a) u(r)=\dfrac{2Q}{\pi R^{2}}\!\left(1-\dfrac{r^{2}}{R^{2}}\right).\n(b) \tau_{w}=\dfrac{4\mu Q}{\pi R^{3}}.\n(c) h_f'=\dfrac{8\mu Q}{\pi R^{4}\rho g}.

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