Para o mesmo óleo do problema anterior e tubo de igual seção transversal, mas vazão de 5 \mathrm{l} / \mathrm{s}, determinar:
a) A distribuição de velocidade na seção transversal;
b) A tensão tangencial no contorno do tubo;
c) A perda de carga unitária.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para o mesmo óleo do problema anterior e um tubo de mesma seção, com vazão 5\\ \mathrm{l/s}:
(a) a distribuição de velocidade na seção transversal;
(b) a tensão tangencial no contorno do tubo (tensão de cisalhamento na parede);
(c) a perda de carga unitária (por comprimento).
Informações explicitamente dadas neste enunciado:
Q = 5\\ \mathrm{l/s} = 0,005\\ \mathrm{m^3/s}.
Informações que o enunciado refere-se ao “mesmo óleo do problema anterior” e à “tubo de igual seção” mas que NÃO foram fornecidas aqui e são necessárias para um cálculo numérico:
viscosidade dinâmica do óleo \mu (em \mathrm{Pa\cdot s});
massa específica do óleo \rho (em \mathrm{kg/m^3});
geometria do tubo (raio R ou diâmetro D).
Como não tenho os valores de \mu, \rho e R (estes dependem do problema anterior), não é possível fornecer resultados numéricos finais. Vou, então, derivar passo a passo as fórmulas corretas (a)–(c) em termos de Q,\;R,\;\mu,\;\rho e mostrar exatamente como calcular os números assim que você tiver os dados faltantes. Eu também explico cada conceito e cada fórmula para você entender e poder aplicar na prova.
Passo 2
Assumimos o caso clássico de escoamento interno, permanente, incompressível e de um fluido Newtoniano, totalmente desenvolvido axialmente em um tubo circular de raio R. Essas hipóteses são comuns em provas e permitem usar o resultado de Poiseuille (perfil parabólico). Vou explicar por que cada hipótese importa:
“Permanentemente” significa que nada depende do tempo, só da posição.
“Incompressível” facilita porque a vazão é a mesma em qualquer seção.
“Newtoniano” significa que a tensão viscosa é proporcional ao gradiente de velocidade com a constante de proporcionalidade \mu.
“Totalmente desenvolvido” significa que as derivadas axiais da velocidade são nulas e o perfil é função apenas do raio r.
Se o escoamento não for laminar (isto é, se \mathrm{Re} for grande), o perfil muda; a condição de laminaridade é verificada com
\mathrm{Re}=\frac{\rho U D}{\mu},
onde U=Q/(\pi R^{2}) é a velocidade média e D=2R. Para escoamento laminar em tubos, geralmente \mathrm{Re}<2300.
Passo 3
Derivação do perfil de velocidade (aula rápida e direta).
Equação diferencial (forma reduzida da equação de Navier–Stokes para escoamento axial plenamente desenvolvido em coordenadas cilíndricas):
u(r) é a velocidade axial como função do raio r (0\le r\le R);
\mu é a viscosidade dinâmica;
dp/dx é o gradiente de pressão ao longo do tubo (constante em escoamento totalmente desenvolvido).
Integramos duas vezes. Escreva G=-\dfrac{dp}{dx} (com G\ge0 quando a pressão decresce no sentido do escoamento). A solução que satisfaz a condição de regularidade em r=0 e a condição de não deslizamento u(R)=0 é
u(r)=\frac{G}{4\mu}\left(R^{2}-r^{2}\right).
Explicando: o termo (R^{2}-r^{2}) dá um perfil parabólico com máximo no centro (r=0) e zero na parede (r=R). A constante G/(4\mu) determina a escala da velocidade.
Passo 4
Expressão do perfil em função da vazão Q (útil, pois Q é dado).
A vazão volumétrica é
Q=\int_{0}^{R}2\pi r\,u(r)\,dr.
Substituindo u(r)=\dfrac{G}{4\mu}(R^{2}-r^{2}) obtemos (fazendo a integral)