Óleo ( \rho=900 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mu=0,038 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} ) escoa a razão de 0,057 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, em um tubo de seção transversal circular de 15 cm de diâmetro. Sendo a perda de carga unitária nessas condições de 0,125 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determinar:
a) A velocidade no eixo do tubo;
b) A tensão tangencial máxima;
c) A velocidade a 5 cm do eixo do tubo.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (vou repetir exatamente o que foi dado):
\rho=900\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad \mu=0{,}038\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}},
Q=0{,}057\\ \mathrm{m^{3}/s},\quad D=0{,}15\\ \mathrm{m},
\text{perda de carga unitária } = 0{,}125\\ \mathrm{m/s}.á
O enunciado pede:
a) A velocidade no eixo do tubo (velocidade máxima no centro).
b) A tensão tangencial máxima (tensão de cisalhamento máxima na parede).
c) A velocidade a 5\\ \mathrm{cm} do eixo do tubo (ou seja, a r=0{,}05\\ \mathrm{m} do centro).

Passo 2

Calcular a velocidade média a partir do débito e da área (passo mecânico direto, sem assumir perfil):
A área da seção circular é
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0{,}15\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi (0{,}15)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}005625\approx 0{,}017671458.
A velocidade média é
\overline{u}=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}057}{0{,}017671458}\approx 3{,}2248\\ \mathrm{m/s}.
(Guardei mais casas significativas para os cálculos seguintes.)

Passo 3

Verificar o regime de escoamento (isso é importante para escolher perfil de velocidades):
O número de Reynolds é
\mathrm{Re}=\frac{\rho \,\overline{u}\, D}{\mu}.
Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{900\cdot 3{,}2248\cdot 0{,}15}{0{,}038}\approx 1{,}1456\times 10^{4}.
Como \mathrm{Re}\gg 2300, o escoamento é turbulento. Portanto não podemos usar a relação laminar \,u_{\max}=2\overline{u}\, (perfil parabólico); precisamos de um perfil empírico para fluxo turbulento.
Observação sobre a “perda de carga unitária” dada: o enunciado deu 0{,}125\\ \mathrm{m/s}. Vou interpretar essa quantidade como a perda de carga por unidade de comprimento expressa em metros de coluna de fluido por metro de comprimento, isto é, \dfrac{h_f}{L}=0{,}125 (unidades efetivas \mathrm{m/m}). Essa interpretação é compatível com o uso clássico da equação de Darcy–Weisbach abaixo; se o enunciado realmente quisesse outra coisa (por ex. um gradiente em \mathrm{Pa/m}), haveria ambiguidade — mas comumente se fornece h_f/L em \mathrm{m/m}. Vou seguir com \dfrac{h_f}{L}=0{,}125.

Passo 4

Encontrar o fator de atrito a partir da equação de Darcy–Weisbach (que relaciona perda de carga por comprimento com velocidade média):
A equação de Darcy–Weisbach (por unidade de comprimento) é
\frac{h_f}{L}=f\,\frac{\overline{u}^{2}}{2gD},
onde f é o fator de atrito de Darcy e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Isolando f:
f=\frac{(h_f/L)\,2gD}{\overline{u}^{2}}.
Substituindo valores:
2gD=2\cdot 9{,}81\cdot 0{,}15=2{,}943,
\overline{u}^{2}=(3{,}2248)^{2}\approx 10{,}39999,
f=\frac{0{,}125\cdot 2{,}943}{10{,}39999}\approx 0{,}03537.

Passo 5

Calcular a tensão tangencial máxima (na parede) a partir do fator de atrito:
Existe a relação entre o fator de atrito f e a tensão de cisalhamento na parede \tau_w:
f=\frac{8\tau_w}{\rho\,\overline{u}^{2}} \quad\Rightarrow\quad \tau_w=\frac{f\,\rho\,\overline{u}^{2}}{8}.
Substituindo os valores:
\tau_w=\frac{0{,}03537\cdot 900\cdot 10{,}39999}{8}\approx 41{,}37\\ \mathrm{Pa}.
Observação física (rápida e intuitiva): esse é o valor da tensão tangencial máxima (na parede); em escoamento turbulento a tensão de cisalhamento média é bem maior do que aquela estimada por uma fórmula puramente viscosa local, por isso este valor é maior do que o que daria se tratássemos o escoamento como laminar.

Passo 6

Escolha de um perfil de velocidades para o escoamento turbulento e cálculo da velocidade no eixo:
Para escoamentos turbulentos totalmente desenvolvidos em tubos lisos costuma-se usar leis empíricas para o perfil. Uma aproximação simples e muito utilizada em engenharia é a “lei de potência” (power-law):
u(r)=u_{\max}\left(1-\frac{r}{R}\right)^{1/n},
onde R=D/2 é o raio e n é um expoente empírico. Um valor corrente para tubulação interna e escoamento turbulento é n=7 (a chamada “1/7ª lei” quando escrita de forma equivalente). Essa lei é simples, dá um perfil mais “achatado” que o parabólico e é adequada para estimativas.
Agora relacionamos u_{\max} com \overline{u} integrando o perfil para obter a média:
\overline{u}=\frac{2}{R^{2}}\int_{0}^{R} u(r)\,r\,dr =\frac{2u_{\max}}{R^{2}}\int_{0}^{R}\left(1-\frac{r}{R}\right)^{1/n} r\,dr.
Fazendo a mudança de variável s=r/R obtém-se
\overline{u}=2u_{\max}\int_{0}^{1} (1-s)^{1/n}s\,ds.
A integral é uma Beta function com resultado fechado:
\int_{0}^{1} s(1-s)^{1/n}ds=\frac{1}{(1+1/n)(2+1/n)}=\frac{n^{2}}{(n+1)(2n+1)}.
Logo
\overline{u}=2u_{\max}\frac{n^{2}}{(n+1)(2n+1)}.
Isolando u_{\max}:
u_{\max}=\overline{u}\,\frac{(n+1)(2n+1)}{2n^{2}}.
Para n=7 temos
\frac{(n+1)(2n+1)}{2n^{2}}=\frac{8\cdot 15}{2\cdot 49}=\frac{120}{98}\approx 1{,}22449.
Portanto
u_{\max}\approx 1{,}22449\cdot \overline{u}=1{,}22449\cdot 3{,}2248\approx 3{,}949\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcular a velocidade a 5\\ \mathrm{cm} do eixo usando o perfil de potência escolhido:
O raio é R=D/2=0{,}075\\ \mathrm{m}. Para r=0{,}05\\ \mathrm{m} temos 1-r/R=1-0{,}05/0{,}075=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}.
Usando n=7:
u(r)=u_{\max}\left(1-\frac{r}{R}\right)^{1/7}=u_{\max}\left(\frac{1}{3}\right)^{1/7}.
Calculemos \left(\frac{1}{3}\right)^{1/7}=\exp\left(\frac{\ln(1/3)}{7}\right)\approx 0{,}854846.
Assim
u(0{,}05)=3{,}949\cdot 0{,}854846\approx 3{,}374\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

a) u_{\text{eixo}} \approx 3{,}95\\ \mathrm{m/s}
b) \tau_{\max}=\tau_{w} \approx 41{,}4\\ \mathrm{Pa}
c) u(r=0{,}05\\ \mathrm{m}) \approx 3{,}37\\ \mathrm{m/s}

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