Óleo ( \rho=900 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mu=0,038 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} ) escoa a razão de 0,057 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, em um tubo de seção transversal circular de 15 cm de diâmetro. Sendo a perda de carga unitária nessas condições de 0,125 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determinar:
a) A velocidade no eixo do tubo;
b) A tensão tangencial máxima;
c) A velocidade a 5 cm do eixo do tubo.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (vou repetir exatamente o que foi dado):
\text{perda de carga unitária } = 0{,}125\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede:
a) A velocidade no eixo do tubo (velocidade máxima no centro).
b) A tensão tangencial máxima (tensão de cisalhamento máxima na parede).
c) A velocidade a 5\\ \mathrm{cm} do eixo do tubo (ou seja, a r=0{,}05\\ \mathrm{m} do centro).
Passo 2
Calcular a velocidade média a partir do débito e da área (passo mecânico direto, sem assumir perfil):
A área da seção circular é
Como \mathrm{Re}\gg 2300, o escoamento é turbulento. Portanto não podemos usar a relação laminar \,u_{\max}=2\overline{u}\, (perfil parabólico); precisamos de um perfil empírico para fluxo turbulento.
Observação sobre a “perda de carga unitária” dada: o enunciado deu 0{,}125\\ \mathrm{m/s}. Vou interpretar essa quantidade como a perda de carga por unidade de comprimento expressa em metros de coluna de fluido por metro de comprimento, isto é, \dfrac{h_f}{L}=0{,}125 (unidades efetivas \mathrm{m/m}). Essa interpretação é compatível com o uso clássico da equação de Darcy–Weisbach abaixo; se o enunciado realmente quisesse outra coisa (por ex. um gradiente em \mathrm{Pa/m}), haveria ambiguidade — mas comumente se fornece h_f/L em \mathrm{m/m}. Vou seguir com \dfrac{h_f}{L}=0{,}125.
Passo 4
Encontrar o fator de atrito a partir da equação de Darcy–Weisbach (que relaciona perda de carga por comprimento com velocidade média):
A equação de Darcy–Weisbach (por unidade de comprimento) é
\frac{h_f}{L}=f\,\frac{\overline{u}^{2}}{2gD},
onde f é o fator de atrito de Darcy e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Isolando f:
Calcular a tensão tangencial máxima (na parede) a partir do fator de atrito:
Existe a relação entre o fator de atrito f e a tensão de cisalhamento na parede \tau_w:
Observação física (rápida e intuitiva): esse é o valor da tensão tangencial máxima (na parede); em escoamento turbulento a tensão de cisalhamento média é bem maior do que aquela estimada por uma fórmula puramente viscosa local, por isso este valor é maior do que o que daria se tratássemos o escoamento como laminar.
Passo 6
Escolha de um perfil de velocidades para o escoamento turbulento e cálculo da velocidade no eixo:
Para escoamentos turbulentos totalmente desenvolvidos em tubos lisos costuma-se usar leis empíricas para o perfil. Uma aproximação simples e muito utilizada em engenharia é a “lei de potência” (power-law):
u(r)=u_{\max}\left(1-\frac{r}{R}\right)^{1/n},
onde R=D/2 é o raio e n é um expoente empírico. Um valor corrente para tubulação interna e escoamento turbulento é n=7 (a chamada “1/7ª lei” quando escrita de forma equivalente). Essa lei é simples, dá um perfil mais “achatado” que o parabólico e é adequada para estimativas.
Agora relacionamos u_{\max} com \overline{u} integrando o perfil para obter a média:
Calcular a velocidade a 5\\ \mathrm{cm} do eixo usando o perfil de potência escolhido:
O raio é R=D/2=0{,}075\\ \mathrm{m}. Para r=0{,}05\\ \mathrm{m} temos 1-r/R=1-0{,}05/0{,}075=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}.
Usando n=7: