Óleo quente deve ser resfriado em um trocador de calor de tubo duplo em contracorrente. O tubo interno de cobre tem diâmetro de 2 cm e espessura desprezível. O diâmetro interno do tubo externo (casco) é 3 cm . A água escoa através do tubo a uma vazão mássica de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, e o óleo escoa através do casco a uma vazão mássica de 0,8 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Considerando as temperaturas médias da água e do óleo como 45^{\circ} \mathrm{C} e 80^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente, determine o coeficiente global de transferência de calor desse trocador de calor.

Hipóteses:

(i) Resistència térmica do tubo interno é desprezível;
(ii) Escoamentos (óleo e água plenamente desenvolvidos);
(iii) Propriedades água e óleo são constantes;
(iv) Sistema isolado.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados extraídos do enunciado (peguei os valores do enunciado e da figura):
    • Diâmetro interno do tubo interno (cujo escoamento é água): D_{i}=0,02\\ \text{m}.
    • Diâmetro interno do tubo externo (casco): D_{o}=0,03\\ \text{m}.
    • Espessura do tubo interno desprezível (logo o raio interno do tubo interno é r_{i}=0,01\\ \text{m} e o raio interno do casco é r_{o}=0,015\\ \text{m}).
    • Vazão mássica da água (tubo): \dot{m}_{w}=0,5\\ \mathrm{kg/s}.
    • Vazão mássica do óleo (casco): \dot{m}_{o}=0,8\\ \mathrm{kg/s}.
    • Temperatura média da água: T_{w,\text{méd}}=45^\circ\mathrm{C}é.
    • Temperatura média do óleo: T_{o,\text{méd}}=80^\circ\mathrm{C}é.
  • Hipóteses (foram informadas no enunciado e aceitas):
    • Resistência térmica do tubo desprezível.
    • Escoamentos plenamente desenvolvidos (momentum e térmico).
    • Propriedades constantes e sistema isolado.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o coeficiente global de transferência de calor U desse trocador (valor médio global de transferência de calor).

Passo 2

Plano de solução e escolha das fórmulas (aqui explico os conceitos que vou usar, sem ainda calcular).
  • Conceito de coeficiente global U: para um trocador tubular com parede de espessura desprezível, usando a área interna (área do tubo) como referência, a resistência térmica total por unidade de área interna é
\frac{1}{U}=\frac{1}{h_i}+\frac{A_i}{A_o}\frac{1}{h_o},
onde h_i é o coeficiente convectivo do fluido interno (água), h_o é o coeficiente convectivo do fluido no casco (óleo), A_i é a área interna do tubo por unidade de comprimento e A_o é a área do casco (área externa do tubo interno, isto é, área interna do casco) por unidade de comprimento. Esta expressão resulta de somar as resistências convectivas em série e usar que a resistência do metal é desprezível.
  • Áreas por unidade de comprimento L:
A_i = 2\pi r_i,\qquad A_o = 2\pi r_o,
logo \dfrac{A_i}{A_o}=\dfrac{r_i}{r_o}.
  • Vou estimar h_i e h_o separadamente usando correlações de convecção interna:
    • Para o interior do tubo (água) verifico o regime por meio do número de Reynolds
    \mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu},onde V é a velocidade média V=\dfrac{\dot{m}}{\rho A} e A é a área da secção transversal.
    • Se o escoamento for turbulento (tipicamente \mathrm{Re}>10000 para aplicar Dittus–Boelter com segurança em tubos lisos), uso a correlação de Dittus–Boelter
    \mathrm{Nu}=0,023\,\mathrm{Re}^{0,8}\mathrm{Pr}^{n},com n=0{,}4 se o fluido é aquecido (temperatura do fluido menor que a da parede) e n=0{,}3 se é resfriado. A relação entre h, \mathrm{Nu} e k é h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D}.
    • Para o lado do casco (óleo) o escoamento no anel tem diâmetro hidráulico
    D_h = D_o - D_i,e área transversal anular A_{\text{an}}=\dfrac{\pi}{4}(D_o^2-D_i^2). Calcularei o \mathrm{Re} no anel e, dependendo do regime, escolho a correlação apropriada. Como o enunciado afirma escoamentos plenamente desenvolvidos e não fornece propriedades, vou usar propriedades típicas à temperatura média indicada (explicito os valores escolhidos e justifico).
  • Observação sobre incertezas: como o enunciado não dá propriedades numéricas (densidade, viscosidade, k, c_p), escolherei valores típicos para água a 45^\circ\mathrm{C} e para um óleo de caráter mineral leve a 80^\circ\mathrm{C} e indicarei que o resultado é uma estimativa razoável sujeita a variações conforme propriedades reais do óleo.

Passo 3

Escolha das propriedades físicas (assunções e cálculos iniciais). Vou declarar os valores que uso (valores típicos encontrados em tabelas):
  • Para água a 45^\circ\mathrm{C} (valores típicos):
    • \rho_w=992\\ \mathrm{kg/m^3}
    • \mu_w=5{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}
    • k_w=0{,}643\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
    • c_{p,w}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
    • \mathrm{Pr}_w=\dfrac{\mu_w c_{p,w}}{k_w}\approx 3{,}6.
  • Para óleo a 80^\circ\mathrm{C} (óleo leve, valores típicos aproximados):
    • \rho_o=850\\ \mathrm{kg/m^3}
    • \mu_o=1{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{Pa\cdot s}
    • k_o=0{,}13\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
    • c_{p,o}=2000\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
    • \mathrm{Pr}_o=\dfrac{\mu_o c_{p,o}}{k_o}\approx 154.
(Expliquei a escolha: valores para água são tabulados; para óleo depende do tipo — escolhi um óleo leve com viscosidade moderada a 80^\circ\mathrm{C}. Se o óleo for muito mais viscoso, o resultado para U cairá. A metodologia, porém, permanece.)

Passo 4

Cálculo das áreas e velocidades:
  • Área interna do tubo (por unidade de comprimento):
A_i=\frac{\pi D_i^2}{4}=\frac{\pi(0,02)^2}{4}=\pi\cdot 0,0001\approx 3{,}1416\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
  • Área do anel (seção transversal do casco por unidade de comprimento):
A_{\text{an}}=\frac{\pi}{4}\left(D_o^2-D_i^2\right)=\frac{\pi}{4}(0,03^2-0,02^2)=\frac{\pi}{4}\cdot 0,0005\approx 3{,}9270\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade média da água no tubo:
V_w=\frac{\dot{m}_w}{\rho_w A_i}=\frac{0,5}{992\cdot 3{,}1416\times10^{-4}}\approx 1{,}60\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade média do óleo no anel:
V_o=\frac{\dot{m}_o}{\rho_o A_{\text{an}}}=\frac{0,8}{850\cdot 3{,}9270\times10^{-4}}\approx 2{,}40\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Cálculo dos números adimensionais e de h_i (lado da água):
  • Número de Reynolds do escoamento interno:
\mathrm{Re}_w=\frac{\rho_w V_w D_i}{\mu_w} =\frac{992\cdot 1{,}60\cdot 0{,}02}{5{,}5\times10^{-4}} \approx 5{,}8\times10^{4},
logo escoamento turbulentíssimo.
  • Usamos a correlação de Dittus–Boelter (válida para escoamento turbulento em tubos lisos):
\mathrm{Nu}_w=0{,}023\,\mathrm{Re}_w^{0,8}\mathrm{Pr}_w^{0,4},
porque a água está sendo aquecida (o óleo é mais quente), então usamos n=0{,}4. Calculando:
\mathrm{Nu}_w\approx 0{,}023\,(5{,}8\times10^{4})^{0,8}\,(3{,}6)^{0,4}\approx 247.
  • Coeficiente convectivo do lado água:
h_i=\frac{\mathrm{Nu}_w\,k_w}{D_i}=\frac{247\cdot 0{,}643}{0{,}02}\approx 7{,}9\times10^{3}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
(Interpretação: água tem alto coeficiente convectivo por ser fluido com alta condutividade e estar em regime turbulento.)

Passo 6

Cálculo do regime e de h_o (lado do óleo no anel):
  • Diâmetro hidráulico do anel:
D_h=D_o-D_i=0{,}03-0{,}02=0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • Número de Reynolds no anel:
\mathrm{Re}_o=\frac{\rho_o V_o D_h}{\mu_o} =\frac{850\cdot 2{,}40\cdot 0{,}01}{1{,}0\times10^{-2}} \approx 2{,}04\times10^{3}.
  • Interpretação do \mathrm{Re}_o: este valor está na faixa laminar/transicional (bem abaixo de 10^4). Para escoamento laminar plenamente desenvolvido em um anel, o número de Nusselt térmico para condições de parede uniforme é do mesmo tipo de ordem de grandeza que para um tubo circular (valores típicos entre 3{,}6 e 5 dependendo da razão de raios e da condição de contorno térmico). Como o enunciado diz escoamentos plenamente desenvolvidos, posso usar a aproximação de um número de Nusselt constante (independente de Re) apropriado para o anel.
  • Para um anel com razão de raios r_i/r_o=0{,}01/0{,}015\approx 0{,}667, um valor razoável de \mathrm{Nu}_o para fluxo laminar e parede com temperatura aproximadamente uniforme fica na faixa de 4 (este é um valor padrão de ordem de grandeza para anéis/tubos laminares plenamente desenvolvidos). Assim tomo
\mathrm{Nu}_o\approx 4 \quad(\text{aproximação razoável para laminar plenamente desenvolvido}).çãá
  • Coeficiente convectivo do lado óleo:
h_o=\frac{\mathrm{Nu}_o\,k_o}{D_h}=\frac{4\cdot 0{,}13}{0{,}01}=52\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
(Observação: este valor é bem menor que h_i e, portanto, o lado do óleo tende a dominar a resistência térmica.)

Passo 7

Cálculo do coeficiente global U.
  • Como a resistência do tubo é desprezível, a resistência total por unidade de área interna é
\frac{1}{U}=\frac{1}{h_i}+\frac{r_i}{r_o}\frac{1}{h_o},
com r_i/r_o=0{,}01/0{,}015=0{,}6667.
  • Substituindo os valores numéricos:
\frac{1}{U}=\frac{1}{7{,}9\times10^{3}}+\frac{0{,}6667}{52} \approx 1{,}26\times10^{-4}+0{,}01282 \approx 0{,}01295\\ (\mathrm{m^2\cdot K/W}).
  • Logo
U=\frac{1}{0{,}01295}\approx 77\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 8

Interpretação final e observações de sensibilidade (didática rápida):
  • Conclusão prática: o coeficiente global U fica da ordem de 7{,}7\times10^{1}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}. O valor numérico é dominado pela baixa capacidade convectiva do óleo (lado do casco). A água, por estar em escoamento turbulento em tubo pequeno, tem h_i muito alto e, portanto, sua resistência é desprezível frente à do óleo.
  • Sensibilidade: se o óleo real for menos viscoso (menor \mu_o), \mathrm{Re}_o aumenta e pode-se obter h_o maior (pela dependência de \mathrm{Re} e \mathrm{Pr}), o que aumentará U. Se o óleo for mais viscoso, h_o e U diminuirão ainda mais. Para estimativa mais precisa seria necessário usar as propriedades reais do óleo e, no caso de \mathrm{Re}_o em região transicional/turbulenta, aplicar uma correlação adequada (ex.: Gnielinski para 2300–10^5 ou correlações específicas para anel).

Resposta

U\approx 77\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}

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