A força de arraste que atua numa partícula esférica em movimento num fluido é dada por:
F=\frac{C_{D}(\pi) R^{2} \rho_{L} v^{2}}{2}
Onde:
C_{D}= Coeficiente de Arraste;
R= Raio da partícula;
v= Velocidade da partícula;
\rho_{L}= Massa específica do fluido.
Para certas condições de escoamento, C_{D} depende do \mathrm{n}^{\circ} de Reynolds ( R e ), expresso da seguinte forma:
C_{D}=\frac{24}{R e}
Considere Re sendo:
R e=\frac{\rho_{L} v 2 R}{\mu}
Com isso, calcule a força em newton (N) que age sobre a partícula, quando:
R=1,5 \mathrm{~mm}
\rho_{L}=58 \frac{l b}{f t^{3}}
v=8.4 \frac{\mathrm{~cm}}{\mathrm{~min}}
\mu=13.6 \times 10^{-4} \frac{l b}{f t s}
◯ a. 8,0 \mathrm{e}-8 \mathrm{~N}
◯ b. 2,7 \mathrm{e}-9 \mathrm{~N}
◯ c. 2,4 \mathrm{e}-4 \mathrm{~N}
◯ d. 4,0 \mathrm{e}-6 \mathrm{~N}
◯ e. 1,6 \mathrm{e}-6 \mathrm{~N}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular a força de arraste em newton que age sobre a partícula usando a fórmula dada.
Informações e fórmulas fornecidas:
  • Fórmula da força de arraste:
F=\frac{C_{D}\,\pi\,R^{2}\,\rho_{L}\,v^{2}}{2}
  • Dependência do coeficiente de arraste:
C_{D}=\frac{24}{Re}
  • Número de Reynolds:
Re=\frac{\rho_{L}\,v\,2R}{\mu}
Dados numéricos fornecidos (vou escrever exatamente como vieram, depois converto para unidades SI):
  • R=1{,}5\\ \mathrm{mm}
  • \rho_{L}=58\\ \dfrac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}^{3}}
  • v=8{,}4\\ \dfrac{\mathrm{cm}}{\mathrm{min}}
  • \mu=13{,}6\times10^{-4}\\ \dfrac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}\,\mathrm{s}}
Objetivo: obter F em newton (\mathrm{N}). Para isso é necessário converter todas as quantidades para o SI antes de aplicar as fórmulas.

Passo 2

Conversões de unidades para o SI (explicando por que): a fórmula usa grandezas físicas (densidade em \mathrm{kg/m^{3}}, viscosidade dinâmica em \mathrm{Pa\cdot s}=\mathrm{kg/(m\;s)}, velocidade em \mathrm{m/s}, raio em \mathrm{m}). Assim converto cada dado.
Fatores de conversão úteis:
1\\ \mathrm{lb}=0{,}45359237\\ \mathrm{kg},\qquad 1\\ \mathrm{ft}=0{,}3048\\ \mathrm{m},\qquad 1\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m},\qquad 1\\ \mathrm{min}=60\\ \mathrm{s}.
Converter o raio:
R=1{,}5\\ \mathrm{mm}=1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=0{,}0015\\ \mathrm{m}.
Converter a velocidade:
v=8{,}4\\ \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{min}}=8{,}4\times10^{-2}\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{min}}=\frac{8{,}4\times10^{-2}}{60}\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=0{,}0014\\ \mathrm{m/s}.
(Explicação curta: dividir por 60 para transformar minutos em segundos.)
Converter a densidade \rho_{L}:
\rho_{L}=58\\ \frac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}^{3}}.
Primeiro transformar libra para kg e pé cúbico para \mathrm{m^{3}}:
58\\ \frac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}^{3}}= 58\cdot\frac{0{,}45359237\\ \mathrm{kg}}{(0{,}3048\\ \mathrm{m})^{3}}.
Calcular numericamente:
(0{,}3048)^{3}=0{,}028316846592\\ \mathrm{m^{3}},
58\cdot0{,}45359237=26{,}30835746\\ \mathrm{kg},
\rho_{L}=\frac{26{,}30835746}{0{,}028316846592}\\ \mathrm{kg/m^{3}}\approx929{,}98\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Converter a viscosidade dinâmica \mu:
\mu=13{,}6\times10^{-4}\\ \frac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}\,\mathrm{s}}=0{,}00136\\ \frac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}\,\mathrm{s}}.
Fator de conversão 1\\ \dfrac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}\,\mathrm{s}}=\dfrac{0{,}45359237\\ \mathrm{kg}}{0{,}3048\\ \mathrm{m}\cdot 1\\ \mathrm{s}}=1{,}48816394\\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m\;s}}.
Logo
\mu=0{,}00136\cdot1{,}48816394\\ \mathrm{kg/(m\;s)}\approx0{,}0020239\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Resumo das quantidades em SI (arredondadas para trabalhar):
R=0{,}0015\\ \mathrm{m},\quad v=0{,}0014\\ \mathrm{m/s},\quad \rho_{L}=929{,}98\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad \mu=0{,}0020239\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds \,Re:
Fórmula:
Re=\frac{\rho_{L}\,v\,2R}{\mu}.
Substituindo os valores (vou mostrar a conta):
2R=2\cdot0{,}0015=0{,}003\\ \mathrm{m},
\rho_{L}\,v\,2R=929{,}98\cdot0{,}0014\cdot0{,}003.
Calcule passo a passo:
929{,}98\cdot0{,}0014=1{,}30197\quad(\mathrm{aprox.}),
1{,}30197\cdot0{,}003=0{,}0039059\quad(\mathrm{aprox.}).
Agora dividir por \mu:
Re=\frac{0{,}0039059}{0{,}0020239}\approx1{,}93.
Interpretação curta (didática): Re\approx1{,}93 é pequeno (da ordem de unidade), indicando escoamento laminar e regime viscoso — por isso a expressão C_{D}=24/Re é adequada (é a dependência típica no regime de Stokes ajustado).

Passo 4

Calcular o coeficiente de arraste C_{D}:
C_{D}=\frac{24}{Re}=\frac{24}{1{,}93}\approx12{,}43.

Passo 5

Agora calcular a força de arraste usando
F=\frac{C_{D}\,\pi\,R^{2}\,\rho_{L}\,v^{2}}{2}.
Vou calcular cada parte:
Área característica R^{2}:
R^{2}=(0{,}0015)^{2}=2{,}25\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
Velocidade ao quadrado v^{2}:
v^{2}=(0{,}0014)^{2}=1{,}96\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Produto \pi\,R^{2}\,\rho_{L}\,v^{2}:
\pi\cdot2{,}25\times10^{-6}\cdot929{,}98\cdot1{,}96\times10^{-6}.
Calcule em ordem:
2{,}25\times10^{-6}\cdot1{,}96\times10^{-6}=4{,}41\times10^{-12},
4{,}41\times10^{-12}\cdot929{,}98=4{,}101214\times10^{-9},
\pi\cdot4{,}101214\times10^{-9}=1{,}2879\times10^{-8}\\ (\mathrm{aprox.}).
Multiplicar por C_{D} e dividir por 2:
F=\frac{12{,}43\cdot1{,}2879\times10^{-8}}{2}.
12{,}43\cdot1{,}2879\times10^{-8}=1{,}6015\times10^{-7},
F=\frac{1{,}6015\times10^{-7}}{2}=8{,}0075\times10^{-8}\\ \mathrm{N}.
Arredondando de forma compatível com as alternativas:
F\approx8{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Verificação rápida: o resultado obtido corresponde à alternativa (a) da lista de opções.

Resposta

a. 8{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{N}

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