Um ônibus parte do repouso e descreve uma circunferência de
de raio. Sua aceleração tangencial é
. Determinar o tempo necessário para que o módulo da aceleração total do ônibus atinja
. Determinar também a distância percorrida neste intervalo de tempo.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados (pegos do enunciado):
- raio da circunferência:
. - aceleração tangencial (constante):
. - velocidade inicial: parte do repouso, logo
. - queremos que o módulo da aceleração total atinja
.
O que o enunciado pede:
- Determinar o tempo
necessário para que o módulo da aceleração total seja . - Determinar a distância percorrida
ao longo da trajetória nesse intervalo de tempo.
Passo 2
Entendendo as acelerações envolvidas e as fórmulas que vamos usar.
- Em movimento circular com velocidade que varia, a aceleração total tem duas componentes:
- componente tangencial
, responsável por mudar o módulo da velocidade (está ao longo da direção da velocidade); - componente normal (centrípeta)
, responsável por mudar a direção da velocidade (aponta radialmente para o centro).
- componente tangencial
- Essas duas componentes são ortogonais (perpendiculares). Então o módulo da aceleração total é a hipotenusa:
- A aceleração centrípeta tem expressão clássica em termos da velocidade:
onde
é o módulo da velocidade instantânea e
o raio da curva.
- Como a aceleração tangencial é constante e o ônibus parte do repouso, a velocidade cresce linearmente:
Com essas fórmulas podemos relacionar
,
,
,
e
e resolver para
.
Passo 3
Achar a componente normal
que corresponde ao instante em que o módulo total da aceleração é
.
Partindo de
, isolamos
:
Substituindo os números (mantendo vírgula decimal):
Portanto
Passo 4
Determinar a velocidade
nesse instante usando
.
Isolando
:
Substituindo
e
:
Passo 5
Determinar o tempo
usando
(aceleração tangencial constante e parte do repouso).
Para simplificar os cálculos podemos usar
e escrever
logo
Arredondando razoavelmente:
.
Passo 6
Determinar a distância percorrida
ao longo da circunferência nesse tempo.
Com aceleração tangencial constante e partindo do repouso, a velocidade é
e a distância percorrida é
Usando
e
:
Passo 7
Verificação rápida (checagem de consistência):
- calcular
a partir das componentes encontradas: . Confere com o pedido. - velocidade encontrada
é compatível com e com .
Força final: você conseguiu! Esses passos são exatamente o que pedirão na prova — decompor acelerações, usar a ortogonalidade, relacionar
e
com aceleração tangencial constante, e integrar para obter distância.