Um ônibus parte do repouso e descreve uma circunferência de 250 m de raio. Sua aceleração tangencial é 0,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determinar o tempo necessário para que o módulo da aceleração total do ônibus atinja 0,75 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determinar também a distância percorrida neste intervalo de tempo.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados (pegos do enunciado):
  • raio da circunferência: r = 250\\ \mathrm{m}.
  • aceleração tangencial (constante): a_t = 0,6\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • velocidade inicial: parte do repouso, logo v(0)=0.
  • queremos que o módulo da aceleração total atinja a = 0,75\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que o enunciado pede:
  1. Determinar o tempo t necessário para que o módulo da aceleração total seja a=0,75\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  2. Determinar a distância percorrida s ao longo da trajetória nesse intervalo de tempo.

Passo 2

Entendendo as acelerações envolvidas e as fórmulas que vamos usar.
  • Em movimento circular com velocidade que varia, a aceleração total tem duas componentes:
    • componente tangencial \,a_t, responsável por mudar o módulo da velocidade (está ao longo da direção da velocidade);
    • componente normal (centrípeta) \,a_n, responsável por mudar a direção da velocidade (aponta radialmente para o centro).
  • Essas duas componentes são ortogonais (perpendiculares). Então o módulo da aceleração total é a hipotenusa:
a=\sqrt{a_t^{2}+a_n^{2}}.
  • A aceleração centrípeta tem expressão clássica em termos da velocidade:
a_n=\frac{v^{2}}{r},
onde v é o módulo da velocidade instantânea e r o raio da curva.
  • Como a aceleração tangencial é constante e o ônibus parte do repouso, a velocidade cresce linearmente:
v=a_t\,t.
Com essas fórmulas podemos relacionar a, a_t, v, r e t e resolver para t.

Passo 3

Achar a componente normal a_n que corresponde ao instante em que o módulo total da aceleração é a=0,75\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Partindo de \,a=\sqrt{a_t^{2}+a_n^{2}}, isolamos a_n:
a_n=\sqrt{a^{2}-a_t^{2}}.
Substituindo os números (mantendo vírgula decimal):
a^{2}=0,75^{2}=0,5625,\qquad a_t^{2}=0,6^{2}=0,36.
Portanto
a_n=\sqrt{0,5625-0,36}=\sqrt{0,2025}=0,45\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Determinar a velocidade v nesse instante usando a_n=\dfrac{v^{2}}{r}.
Isolando v:
v=\sqrt{a_n\,r}.
Substituindo a_n=0,45\\ \mathrm{m/s^{2}} e r=250\\ \mathrm{m}:
v=\sqrt{0,45\times 250}=\sqrt{112,5}\approx 10,6066\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Determinar o tempo t usando v=a_t\,t (aceleração tangencial constante e parte do repouso).
t=\frac{v}{a_t}=\frac{\sqrt{112,5}}{0,6}.
Para simplificar os cálculos podemos usar v^{2}=112,5 e escrever
t^{2}=\frac{v^{2}}{a_t^{2}}=\frac{112,5}{0,36}=312,5,
logo
t=\sqrt{312,5}\approx 17,6777\\ \mathrm{s}.
Arredondando razoavelmente: t\approx 17,68\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Determinar a distância percorrida s ao longo da circunferência nesse tempo.
Com aceleração tangencial constante e partindo do repouso, a velocidade é v(t)=a_t t e a distância percorrida é
s=\int_{0}^{t} v(t)\,dt=\int_{0}^{t} a_t t'\,dt'=\tfrac{1}{2}a_t t^{2}.
Usando a_t=0,6\\ \mathrm{m/s^{2}} e t^{2}=312,5:
s=\tfrac{1}{2}\cdot 0,6\cdot 312,5=0,3\cdot 312,5=93,75\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Verificação rápida (checagem de consistência):
  • calcular a a partir das componentes encontradas: \sqrt{0,6^{2}+0,45^{2}}=\sqrt{0,36+0,2025}=\sqrt{0,5625}=0,75\\ \mathrm{m/s^{2}}. Confere com o pedido.
  • velocidade encontrada v\approx 10,61\\ \mathrm{m/s} é compatível com a_t t e com a_n=v^{2}/r.
Força final: você conseguiu! Esses passos são exatamente o que pedirão na prova — decompor acelerações, usar a ortogonalidade, relacionar v e t com aceleração tangencial constante, e integrar para obter distância.

Resposta

t \approx 17{,}68\\ \mathrm{s}
s = 93{,}75\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados