Um óleo SAE - 40\left(\gamma=9100 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}\right), escoando em regime laminar através de um tubo de 1,8 \mathrm{~m} de comprimento e de 12 mm de diâmetro, apresenta vazão Q=0,22 \cdot 10^{-3} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. A perda de carga no trecho do tubo com comprimento de 1,8 \mathrm{~m} é \mathrm{h}_{1-2}^{\mathrm{D}}=13,16 \mathrm{~m}. Pede-se:
(A) A queda de pressão no trecho do referido tubo;
(B) A viscosidade cinemática desse óleo;
(C) A viscosidade dinâmica desse óleo.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
(A) a queda de pressão no trecho do tubo de comprimento \,1,8\\ \mathrm{m}\,;
(B) a viscosidade cinemática do óleo;
(C) a viscosidade dinâmica do óleo.
Dados fornecidos (vou listar tudo que vamos usar):
\gamma = 9100\\ \mathrm{N/m^{3}}
L = 1,8\\ \mathrm{m}
D = 12\\ \mathrm{mm} = 0,012\\ \mathrm{m}
Q = 0,22\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/s} = 0,00022\\ \mathrm{m^{3}/s}
h_{1-2}^{D} = 13,16\\ \mathrm{m}
O que precisamos encontrar:
  • (A) \Delta p ao longo do trecho (queda de pressão absoluta, em Pa);
  • (B) \nu (viscosidade cinemática, em \mathrm{m^{2}/s});
  • (C) \mu (viscosidade dinâmica, em \mathrm{Pa\cdot s}).

Passo 2

(A) Relação entre perda de carga (carga hidráulica) e queda de pressão: a pressão corresponde ao peso específico multiplicado pela altura (carga). A fórmula é
\Delta p = \gamma \, h_{1-2}^{D},
onde \Delta p é a queda de pressão (em \mathrm{Pa}), \gamma é o peso específico ( \mathrm{N/m^{3}}) e h_{1-2}^{D} é a perda de carga (em \mathrm{m}). Substituindo os valores:
\Delta p = 9100 \times 13,16\\ \mathrm{Pa}.
Vamos calcular passo a passo: 9100\cdot 13 = 118300 e 9100\cdot 0,16 = 1456. Somando,
\Delta p = 118300 + 1456 = 119756\\ \mathrm{Pa}.
Portanto a queda de pressão no trecho é \Delta p = 119756\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Para obter viscosidades precisamos do regime de escoamento (já foi informado que é laminar) e da velocidade média \,V no tubo. Primeiro calculamos a área da seção interna e depois a velocidade.
Área da seção circular:
A = \frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D = 0,012\\ \mathrm{m}:
A = \frac{\pi (0,012)^{2}}{4} = \pi \cdot 0,000036 = 0,000113097\\ \mathrm{m^{2}} \\ (\text{aprox.}).
Velocidade média a partir da vazão:
V = \frac{Q}{A} = \frac{0,00022}{0,000113097}\\ \mathrm{m/s}.
Calculando:
V \approx 1,94584\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Relações úteis para escoamento laminar em tubo circular:
  • Número de Reynolds: \displaystyle \mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}, onde \nu é a viscosidade cinemática (unidade \mathrm{m^{2}/s}).
  • Para escoamento laminar totalmente desenvolvido em tubo circular, o fator de atrito de Darcy satisfaz \displaystyle f=\frac{64}{\mathrm{Re}}.
  • A perda de carga de Darcy- Weisbach é
h_{f} = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g},
onde g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}} e h_{f} é a perda de carga (aqui h_{f}=h_{1-2}^{D}=13,16\\ \mathrm{m}). Essas fórmulas permitem obter f a partir de h_{f} e V, e depois \mathrm{Re} e \nu.

Passo 5

Isolamos f a partir da fórmula de perda de carga:
f = h_{f}\,\frac{D}{L}\,\frac{2g}{V^{2}}.
Substituindo h_{f}=13,16\\ \mathrm{m}, D=0,012\\ \mathrm{m}, L=1,8\\ \mathrm{m}, g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}} e V\approx 1,94584\\ \mathrm{m/s}:
\frac{D}{L}=\frac{0,012}{1,8}=0,0066667,
V^{2}\approx (1,94584)^{2}=3,78629\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}},
2g=19,62\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Agora:
f = 13,16 \times 0,0066667 \times \frac{19,62}{3,78629}.
Calculemos em etapas: 13,16\times 0,0066667 \approx 0,0877333. \dfrac{19,62}{3,78629}\approx 5,18001. Logo
f \approx 0,0877333\times 5,18001 \approx 0,45420.
Logo o fator de atrito de Darcy é \,f\approx 0,4542.

Passo 6

Com f e a relação laminar f=64/\mathrm{Re} obtemos o número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{64}{f}=\frac{64}{0,45420}\approx 140,88.
Isso confirma o regime laminar ( \mathrm{Re}<2000).

Passo 7

Agora isolamos a viscosidade cinemática \nu da definição do número de Reynolds:
\nu = \frac{V D}{\mathrm{Re}}.
Substituindo V\approx 1,94584\\ \mathrm{m/s}, D=0,012\\ \mathrm{m} e \mathrm{Re}\approx 140,88:
V D \approx 1,94584\times 0,012 = 0,0233501\\ \mathrm{m^{2}/s}.
\nu \approx \frac{0,0233501}{140,88} \approx 1,6578\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Arredondando de forma prática:
\nu \approx 1,66\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s}.

Passo 8

Para obter a viscosidade dinâmica \mu usamos a relação entre peso específico, densidade e aceleração da gravidade:
\gamma = \rho g \quad\Rightarrow\quad \rho = \frac{\gamma}{g}.
Substituindo \gamma=9100\\ \mathrm{N/m^{3}} e g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}:
\rho \approx \frac{9100}{9,81}\\ \mathrm{kg/m^{3}} \approx 927,63\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
A viscosidade dinâmica é
\mu = \rho\,\nu.
Substituindo \rho\approx 927,63\\ \mathrm{kg/m^{3}} e \nu\approx 1,6578\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s}:
\mu \approx 927,63 \times 1,6578\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s} \approx 0,1538\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Arredondando de forma prática:
\mu \approx 0,154\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Resposta

(A) \Delta p = 119756\\ \mathrm{Pa}
(B) \nu = 1,66\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s}
(C) \mu = 0,154\\ \mathrm{Pa\cdot s}

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