1. Determine o diâmetro de uma adutora, por gravidade, de 850 m de comprimento, ligando dois reservatórios mantidos em níveis constantes, com diferença de cotas de 17,5 m , para transportar uma vazão de água de 30 \mathrm{l} / \mathrm{s}. Material da tubulação, aço galvanizado com costura novo, \varepsilon=0,15 \mathrm{~mm}. Use a equação de Swamee-Jaine que explicita o diâmetro e considere v_{\mathrm{cn}}=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede o diâmetro de uma adutora por gravidade que tem as seguintes informações fornecidas:
L=850\\ \mathrm{m}
\Delta z=17{,}5\\ \mathrm{m}\\ (\text{diferença de cotas entre reservatórios})çó
Q=30\\ \mathrm{L/s}=0{,}03\\ \mathrm{m^{3}/s}
\varepsilon=0{,}15\\ \mathrm{mm}=0{,}00015\\ \mathrm{m}
\nu= v_{\mathrm{cn}} = 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}
O que se pede: determinar o diâmetro interno D da tubulação que, por gravidade, transporta a vazão Q entre os dois reservatórios com a perda de carga total igual à diferença de nível \Delta z. Use a equação de Swamee–Jain (que aproxima a equação de Colebrook) e considere a tubulação uniforme (sem perdas maiores relevantes). Não há outras informações aí além das dadas.

Passo 2

Princípio físico e equações básicas — vamos traduzir o problema em equações. Para um escoamento entre dois reservatórios mantidos em níveis constantes, a energia disponível é exatamente a diferença de cota \Delta z, que é dissipada por atrito na tubulação (desprezando perdas locais relevantes). Então:
h_f=\Delta z
onde h_f é a perda de carga por atrito.
A perda de carga por atrito é dada pela fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}
Expliquei as variáveis:
  • f é o fator de atrito adimensional (depende da rugosidade relativa \varepsilon/D e do número de Reynolds \mathrm{Re});
  • L é o comprimento da tubulação ( \mathrm{m});
  • D é o diâmetro interno da tubulação ( \mathrm{m});
  • V é a velocidade média do fluido na tubulação ( \mathrm{m/s});
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
A velocidade média V relaciona-se com a vazão Q por:
V=\frac{Q}{A}=\frac{4Q}{\pi D^2}
Substituindo V em Darcy–Weisbach obtemos (apenas manipulando algebricamente):
\Delta z = f\,\frac{L}{D}\,\frac{1}{2g}\left(\frac{4Q}{\pi D^2}\right)^2
Simplificando chega-se a uma relação direta entre D e f:
\Delta z = \frac{8 f L Q^2}{g\pi^2 D^5}
ou isolando D,
D^5 = \frac{8 f L Q^2}{g\pi^2 \Delta z}
e portanto
D = \left(\frac{8 f L Q^2}{g\pi^2 \Delta z}\right)^{1/5}.
Observe: essa expressão mostra que D depende de f, mas f por sua vez depende de D (pela rugosidade relativa \varepsilon/D e pelo número de Reynolds). Por isso precisamos de uma forma prática para obter f e resolver a equação de forma consistente.

Passo 3

Apresentando a equação de Swamee–Jain para o fator de atrito e explicando como vamos proceder. A equação de Swamee–Jain dá uma aproximação explícita para f (evita solução iterativa da Colebrook) e é:
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Explicando as variáveis:
  • \varepsilon é a rugosidade absoluta ( \mathrm{m});
  • D é o diâmetro ( \mathrm{m});
  • \mathrm{Re} é o número de Reynolds, dado por \mathrm{Re}=\dfrac{V D}{\nu} com \nu a viscosidade cinemática ( \mathrm{m^2/s});
  • V é 4Q/(\pi D^2).
Plano de solução prático (por que escolhemos este caminho): como f depende de D e D depende de f, a forma prática é usar iteração por sucessivas aproximações:
  1. Chutar um valor inicial para D (ex.: 0{,}1\\ \mathrm{m});
  2. Calcular V, \mathrm{Re}, então f pela Swamee–Jain;
  3. Calcular novo D pela expressão D = \left(\dfrac{8 f L Q^2}{g\pi^2 \Delta z}\right)^{1/5};
  4. Repetir até que D converja (diferença muito pequena entre iterações).
    Essa iteração converge rápido para escoamentos totalmente turbulentos, como é o caso aqui (você verá que \mathrm{Re} é bem grande).

Passo 4

Preparando constantes numéricas e o chute inicial. Valores que vamos usar:
g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},\qquad Q=0{,}03\\ \mathrm{m^3/s},\qquad L=850\\ \mathrm{m},\qquad \Delta z=17{,}5\\ \mathrm{m},
\varepsilon=0{,}00015\\ \mathrm{m},\qquad \nu=10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
Escolho chute inicial razoável D_0=0{,}10\\ \mathrm{m} (100 mm). Agora vamos executar a iteração passo a passo, mostrando os cálculos.

Passo 5

Iteração 1 (chute D_0=0{,}10\\ \mathrm{m}) — calcular \mathrm{Re}, f e novo D.
Calcule a velocidade:
V=\frac{4Q}{\pi D^2}=\frac{4\cdot 0{,}03}{\pi\cdot(0{,}10)^2}
Vamos calcular passo a passo:
V=\frac{0{,}12}{\pi\cdot 0{,}01}=\frac{0{,}12}{0{,}031416}=3{,}8197\\ \mathrm{m/s}.
Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}=\frac{3{,}8197\cdot 0{,}10}{10^{-6}}=381971{,}9.
Agora Swamee–Jain:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{0{,}00015}{3{,}7\cdot 0{,}10}=0{,}0004054,
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{(381971{,}9)^{0{,}9}} \approx 5{,}44\times 10^{-5},
\log_{10}\!\left(0{,}0004054+5{,}44\times 10^{-5}\right)=\log_{10}(4{,}598\times 10^{-4})\approx -3{,}337,
f=\frac{0{,}25}{(-3{,}337)^2}=\frac{0{,}25}{11{,}137}\approx 0{,}02245.
Com esse f usamos
D = \left(\frac{8 f L Q^2}{g\pi^2 \Delta z}\right)^{1/5}.
Calcule numerador e denominador:
8fLQ^2 = 8\cdot 0{,}02245\cdot 850\cdot (0{,}03)^2 \approx 0{,}137394,
g\pi^2\Delta z = 9{,}81\cdot \pi^2\cdot 17{,}5 \approx 1693{,}48.
\frac{8fLQ^2}{g\pi^2\Delta z} \approx 8{,}11\times 10^{-5},
D_1=(8{,}11\times 10^{-5})^{1/5}\approx 0{,}152\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Iteração 2 (usar D_1=0{,}152\\ \mathrm{m}) — recalcula \mathrm{Re}, f, D.
Velocidade:
V=\frac{4\cdot 0{,}03}{\pi\cdot(0{,}152)^2}\approx \frac{0{,}12}{0{,}0726}=1{,}653\\ \mathrm{m/s}.
Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{1{,}653\cdot 0{,}152}{10^{-6}}\approx 251304.
Swamee–Jain:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{0{,}00015}{3{,}7\cdot 0{,}152}\approx 0{,}0002667,
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 7{,}94\times 10^{-5},
\log_{10}(0{,}0002667+7{,}94\times 10^{-5})=\log_{10}(3{,}461\times 10^{-4})\approx -3{,}460,
f=\frac{0{,}25}{(-3{,}460)^2}\approx \frac{0{,}25}{11{,}974}\approx 0{,}02088.
Novo D:
8fLQ^2 \approx 8\cdot 0{,}02088\cdot 850\cdot 0{,}0009 \approx 0{,}127786,
\frac{8fLQ^2}{g\pi^2\Delta z}\approx 7{,}545\times 10^{-5},
D_2=(7{,}545\times 10^{-5})^{1/5}\approx 0{,}1499\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Iteração 3 (usar D_2=0{,}1499\\ \mathrm{m}) — nova atualização.
Velocidade:
V=\frac{4\cdot 0{,}03}{\pi\cdot(0{,}1499)^2}\approx 1{,}693\\ \mathrm{m/s}.
Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{1{,}693\cdot 0{,}1499}{10^{-6}}\approx 254854.
Swamee–Jain:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}\approx \frac{0{,}00015}{3{,}7\cdot 0{,}1499}\approx 0{,}0002705,
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 7{,}80\times 10^{-5},
\log_{10}(0{,}0002705+7{,}80\times 10^{-5})\approx -3{,}458,
f\approx \frac{0{,}25}{(-3{,}458)^2}\approx 0{,}02091.
Com esse f obtemos:
D_3=(\text{cálculo})^{1/5}\approx 0{,}1500\\ \mathrm{m}.á
A diferença entre D_3 e D_2 é desprezível (algumas micrômetros), portanto a iteração convergiu para D\approx 0{,}150\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Verificações finais e interpretação:
  • O diâmetro achado D\approx 0{,}150\\ \mathrm{m} corresponde a velocidade média V\approx 1{,}69\\ \mathrm{m/s}.
  • O número de Reynolds resultante está na ordem de 2{,}5\times 10^{5}, ou seja, escoamento totalmente turbulento onde a aproximação de Swamee–Jain é adequada.
  • Podemos checar rapidamente se a perda de carga calculada com esse D e f retorna \Delta z próxima de 17{,}5\\ \mathrm{m} (consistência: a fórmula de Darcy–Weisbach foi usada para obter D, então a consistência está garantida pela construção numérica).

Resposta

D=0{,}150\\ \mathrm{m}

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