- Determine o diâmetro de uma adutora, por gravidade, de 850 m de comprimento, ligando dois reservatórios mantidos em níveis constantes, com diferença de cotas de 17,5 m , para transportar uma vazão de água de
. Material da tubulação, aço galvanizado com costura novo,
. Use a equação de Swamee-Jaine que explicita o diâmetro e considere
.
Passo 1
O enunciado pede o diâmetro de uma adutora por gravidade que tem as seguintes informações fornecidas:
O que se pede: determinar o diâmetro interno
da tubulação que, por gravidade, transporta a vazão
entre os dois reservatórios com a perda de carga total igual à diferença de nível
. Use a equação de Swamee–Jain (que aproxima a equação de Colebrook) e considere a tubulação uniforme (sem perdas maiores relevantes). Não há outras informações aí além das dadas.
Passo 2
Princípio físico e equações básicas — vamos traduzir o problema em equações. Para um escoamento entre dois reservatórios mantidos em níveis constantes, a energia disponível é exatamente a diferença de cota
, que é dissipada por atrito na tubulação (desprezando perdas locais relevantes). Então:
onde
é a perda de carga por atrito.
A perda de carga por atrito é dada pela fórmula de Darcy–Weisbach:
Expliquei as variáveis:
-
é o fator de atrito adimensional (depende da rugosidade relativa e do número de Reynolds ); -
é o comprimento da tubulação ( ); -
é o diâmetro interno da tubulação ( ); -
é a velocidade média do fluido na tubulação ( ); -
é a aceleração da gravidade ( ).
A velocidade média
relaciona-se com a vazão
por:
Substituindo
em Darcy–Weisbach obtemos (apenas manipulando algebricamente):
Simplificando chega-se a uma relação direta entre
e
:
ou isolando
,
e portanto
Observe: essa expressão mostra que
depende de
, mas
por sua vez depende de
(pela rugosidade relativa
e pelo número de Reynolds). Por isso precisamos de uma forma prática para obter
e resolver a equação de forma consistente.
Passo 3
Apresentando a equação de Swamee–Jain para o fator de atrito e explicando como vamos proceder. A equação de Swamee–Jain dá uma aproximação explícita para
(evita solução iterativa da Colebrook) e é:
Explicando as variáveis:
-
é a rugosidade absoluta ( ); -
é o diâmetro ( ); -
é o número de Reynolds, dado por com a viscosidade cinemática ( ); -
é .
Plano de solução prático (por que escolhemos este caminho): como
depende de
e
depende de
, a forma prática é usar iteração por sucessivas aproximações:
- Chutar um valor inicial para
(ex.: ); - Calcular
, , então pela Swamee–Jain; - Calcular novo
pela expressão ; - Repetir até que
converja (diferença muito pequena entre iterações).
Essa iteração converge rápido para escoamentos totalmente turbulentos, como é o caso aqui (você verá queé bem grande).
Passo 4
Preparando constantes numéricas e o chute inicial. Valores que vamos usar:
Escolho chute inicial razoável
(100 mm). Agora vamos executar a iteração passo a passo, mostrando os cálculos.
Passo 5
Iteração 1 (chute
) — calcular
,
e novo
.
Calcule a velocidade:
Vamos calcular passo a passo:
Número de Reynolds:
Agora Swamee–Jain:
Com esse
usamos
Calcule numerador e denominador:
Passo 6
Iteração 2 (usar
) — recalcula
,
,
.
Velocidade:
Número de Reynolds:
Swamee–Jain:
Novo
:
Passo 7
Iteração 3 (usar
) — nova atualização.
Velocidade:
Número de Reynolds:
Swamee–Jain:
Com esse
obtemos:
A diferença entre
e
é desprezível (algumas micrômetros), portanto a iteração convergiu para
.
Passo 8
Verificações finais e interpretação:
- O diâmetro achado
corresponde a velocidade média . - O número de Reynolds resultante está na ordem de
, ou seja, escoamento totalmente turbulento onde a aproximação de Swamee–Jain é adequada. - Podemos checar rapidamente se a perda de carga calculada com esse
e retorna próxima de (consistência: a fórmula de Darcy–Weisbach foi usada para obter , então a consistência está garantida pela construção numérica).