Em uma tubulação com diâmetro \mathrm{D}=0,25 \mathrm{~m} e extensão \mathrm{L}=2,5 \mathrm{~km}, um óleo ( \mu=0,1 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m}^{2} e \gamma=9000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3} ) escoa a uma vazão \mathrm{Q}=34 \mathrm{l} / \mathrm{s}. Pede-se:
(A) o regime do escoamento
(B) a perda de carga distribuída
(C) A queda de pressão do fluido neste trecho da tubulação.

Passo 1

Resumo do que o problema pede e dados fornecidos.
Dados do enunciado:
D=0,25\\ \mathrm{m},\quad L=2{,}5\\ \mathrm{km}=2500\\ \mathrm{m},\quad Q=34\\ \mathrm{l/s}=0{,}034\\ \mathrm{m^3/s},
\mu=0{,}1\\ \mathrm{N\cdot s/m^2},\quad \gamma=9000\\ \mathrm{N/m^3}.
Perguntas:
(A) determinar o regime do escoamento (laminar, transicional ou turbulento);
(B) calcular a perda de carga distribuída (altura de carga perdida h_f em metros);
(C) calcular a queda de pressão do fluido neste trecho da tubulação (diferença de pressão \Delta p em Pa).

Passo 2

Calcular a área da seção transversal da tubulação e a velocidade média do escoamento. Explicação: a vazão volumétrica Q relaciona-se com a área A e velocidade média V por Q=A\cdot V. A área de um círculo é \displaystyle A=\frac{\pi D^2}{4}.
Cálculo da área:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}25)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}015625\approx 0{,}049087\\ \mathrm{m^2}.
Cálculo da velocidade média:
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}034}{0{,}049087}\approx 0{,}693\\ \mathrm{m/s}.
Comentário prático: na prova, calcule A primeiro e depois use V=Q/A, trocando unidades para o SI sempre que precisar.

Passo 3

Determinar a massa específica \rho do fluido a partir do peso específico \gamma. Explicação: \gamma=\rho g, onde g é a aceleração da gravidade (usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}). Logo \rho=\gamma/g.
Cálculo:
\rho=\frac{\gamma}{g}=\frac{9000}{9{,}81}\approx 917{,}43\\ \mathrm{kg/m^3}.
Observação: sempre verifique se \gamma está em \mathrm{N/m^3} (peso específico) para usar essa relação.

Passo 4

Calcular o número de Reynolds e interpretar o regime do escoamento. Explicação: o número de Reynolds mede a razão entre forças inerciais e viscosas e é dado por
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu},
onde \rho é a massa específica ( \mathrm{kg/m^3}), V a velocidade média ( \mathrm{m/s}), D o diâmetro ( \mathrm{m}) e \mu a viscosidade dinâmica ( \mathrm{N\cdot s/m^2}=\mathrm{kg/(m\cdot s)}). Critério usual: fluxo laminar se \mathrm{Re}<2000, transicional se 2000\lesssim\mathrm{Re}\lesssim4000, turbulento se \mathrm{Re}>4000.
Cálculo:
\mathrm{Re}=\frac{917{,}43\cdot 0{,}693\cdot 0{,}25}{0{,}1}\approx 1\,590.
Interpretação: como \mathrm{Re}\approx 1{,}59\times 10^{3}<2000, o escoamento é laminar.

Passo 5

Escolha da fórmula para fator de atrito f. Explicação: para escoamento laminar em tubos circulares a fórmula analítica é
f=\frac{64}{\mathrm{Re}},
onde f é o fator de atrito de Darcy (usado na fórmula de Darcy–Weisbach). (Observação: não confundir com o fator de Fanning, que é 1/4 do fator de Darcy.)
Cálculo de f:
f=\frac{64}{\mathrm{Re}}=\frac{64}{1590}\approx 0{,}0403.

Passo 6

Calcular a perda de carga distribuída h_f usando a equação de Darcy–Weisbach. Explicação: a perda de carga por atrito (altura) numa tubulação reta é
h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g},
onde L é o comprimento do tubo, D o diâmetro, V a velocidade média, g a gravidade e f o fator de atrito de Darcy (adotado no passo anterior).
Cálculo passo a passo:
  • Calcular V^2/(2g):
\frac{V^2}{2g}=\frac{(0{,}693)^2}{2\cdot 9{,}81}\approx \frac{0{,}480}{19{,}62}\approx 0{,}02449\\ \mathrm{m}.
  • Calcular L/D:
\frac{L}{D}=\frac{2500}{0{,}25}=10000.
  • Agora h_f:
h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}\approx 0{,}0403\cdot 10000\cdot 0{,}02449\approx 9{,}86\\ \mathrm{m}.
Interpretação: ao longo dos 2{,}5\\ \mathrm{km} o fluido perde cerca de 9{,}86\\ \mathrm{m} de carga por atrito.

Passo 7

Calcular a queda de pressão \Delta p correspondente à perda de carga. Explicação: queda de pressão e perda de carga (em altura) relacionam-se por \Delta p=\gamma h_f, onde \gamma é o peso específico ( \mathrm{N/m^3}), porque \Delta p=\rho g h_f=\gamma h_f.
Cálculo:
\Delta p=\gamma h_f=9000\cdot 9{,}86\approx 88\,740\\ \mathrm{Pa}\approx 88{,}7\\ \mathrm{kPa}.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (resumindo o procedimento que usamos): converter unidades para SI, calcular A e V, calcular \rho se der \gamma, avaliar \mathrm{Re} para escolher f (em laminar f=64/\mathrm{Re}), usar Darcy–Weisbach para h_f e depois \Delta p=\gamma h_f. Respira fundo — seguindo esses passos você resolve com segurança.

Resposta

(A) Regime do escoamento: laminar ( \mathrm{Re}\approx 1{,}59\times 10^{3}).
(B) Perda de carga distribuída: h_f\approx 9{,}86\\ \mathrm{m}.
(C) Queda de pressão no trecho: \Delta p\approx 8{,}87\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa} (aprox. 88{,}7\\ \mathrm{kPa}).

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