On 7 Duas ondas progressivas iguais, que propagam no mesmo sentido, estão defasadas de \pi / 2 \mathrm{rad}. Determine: (a) a amplitude da onda resultante em termos da amplitude comum y_{m 1} das duas ondas; (b) a fase da onda resultante.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo abaixo foi extraído do enunciado):
  • Duas ondas progressivas são iguais, ou seja têm a mesma amplitude comum \,y_{m1}.
  • As duas ondas propagam-se no mesmo sentido (mesmos \omega e k).
  • As ondas estão defasadas entre si de \pi/2 rad; denotar essa defasagem por \varphi=\pi/2.
O enunciado pede:
(a) determinar a amplitude da onda resultante em termos de \,y_{m1};
(b) determinar a fase (deslocamento de fase) da onda resultante.

Passo 2

Primeiro escrevo matematicamente as duas ondas (forma mais comum usada em provas). Como propagam no mesmo sentido e têm mesma amplitude e frequência, posso escrever:
y_1 = y_{m1}\sin\!\big(\omega t - kx\big),
y_2 = y_{m1}\sin\!\big(\omega t - kx + \varphi\big),
onde \varphi=\pi/2. Aqui:
  • \,y_{m1} é a amplitude de cada onda,
  • \omega é a frequência angular,
  • k é o número de onda,
  • t é o tempo e x a posição.
    O princípio da superposição diz que a onda resultante é a soma:
y = y_1 + y_2.

Passo 3

Vou usar uma identidade trigonométrica muito útil para somas de senos. Identidade:
\sin u + \sin v = 2\sin\!\left(\frac{u+v}{2}\right)\cos\!\left(\frac{u-v}{2}\right).
Pequena explicação do porquê (útil para prova): essa identidade vem das fórmulas de adição para seno e cosseno; ela transforma a soma em um produto que revela amplitude e fase resultantes quando somamos duas ondas.

Passo 4

Aplico a identidade ao somar y_1 e y_2. Tomo u=\omega t - kx e v=\omega t - kx + \varphi. Então
y = y_{m1}\big[\sin u + \sin v\big] = y_{m1}\cdot 2\sin\!\left(\frac{u+v}{2}\right)\cos\!\left(\frac{u-v}{2}\right).
Calculo \dfrac{u+v}{2} e \dfrac{u-v}{2}:
\frac{u+v}{2} = \frac{(\omega t - kx)+(\omega t - kx + \varphi)}{2} = \omega t - kx + \frac{\varphi}{2},
\frac{u-v}{2} = \frac{(\omega t - kx)-(\omega t - kx + \varphi)}{2} = -\frac{\varphi}{2}.
Substituindo:
y = 2y_{m1}\sin\!\left(\omega t - kx + \frac{\varphi}{2}\right)\cos\!\left(-\frac{\varphi}{2}\right).

Passo 5

Usando a paridade do cosseno, \cos(-\theta)=\cos\theta, obtemos a forma padrão da onda resultante:
y = \underbrace{2y_{m1}\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)}_{Y_m}\;\sin\!\left(\omega t - kx + \frac{\varphi}{2}\right).
Dessa expressão reconhecemos:
  • a amplitude resultante
Y_m = 2y_{m1}\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right),
  • e o avanço de fase (deslocamento de fase) da senoide resultante em relação à primeira onda é
\delta = \frac{\varphi}{2}.
Isto é intuitivo: para ondas de mesmas amplitude a fase resultante fica exatamente no meio das fases das duas ondas (média aritmética).

Passo 6

Agora substituo o valor numérico da defasagem \varphi=\pi/2. Primeiro a amplitude:
Y_m = 2y_{m1}\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Como \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, temos
Y_m = 2y_{m1}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\,y_{m1}.

Passo 7

A fase (deslocamento) da onda resultante, conforme deduzido, é
\delta = \frac{\varphi}{2} = \frac{\pi}{4}.
Portanto a forma final da onda resultante pode ser escrita como
y = \sqrt{2}\,y_{m1}\;\sin\!\left(\omega t - kx + \frac{\pi}{4}\right).
Isto significa que a onda resultante tem amplitude maior por fator \sqrt{2} e está adiantada em \pi/4 rad em relação à primeira onda y_1.

Passo 8

Dica para a prova: memorize a fórmula geral para duas ondas iguais defasadas \varphi:
Y_m = 2y_{m1}\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right),\qquad \delta=\frac{\varphi}{2}.
Com isso, para qualquer \varphi rápida-se calcula amplitude e fase; a identidade de soma de senos é a ferramenta-chave.

Resposta

Y_m=\sqrt{2}\,y_{m1}
\delta=\dfrac{\pi}{4}

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