Uma onda de água deslocando-se em linha reta em um lago é descrita pela equação
y(x, t)=(2,75 \mathrm{~cm}) \cos (0,410 \mathrm{rad} / \mathrm{cm} x+6,20 \mathrm{rad} / \mathrm{s} t)
onde y é o deslocamento perpendicular à superfície plana do lago. (b) Quanto tempo é necessário para que um padrão de onda completo passe por um pescador em um banco ancorado, e que distância horizontal a crista da onda percorre nesse intervalo? (b) Qual é o número de onda e quantas ondas passam pelo pescador a cada segundo? (c) Com que velocidade a crista da onda passa pelo pescador, e qual é a velocidade máxima de sua boia de cortiça à medida que a onda a faz subir e descer?

Passo 1

O enunciado dá a função de onda
y(x,t) = (2,75\text{ cm})\cos\bigl(0,410\;\mathrm{rad/cm}\,x \;+\;6,20\;\mathrm{rad/s}\,t\bigr)
e pede em (b) o tempo que leva para um padrão completo passar por um observador fixo (isso é o período T) e a distância horizontal percorrida pela crista nesse tempo; ainda em (b) quer o número de onda k e quantas ondas passam por segundo (isto é a frequência f); em (c) pede a velocidade de propagação da crista e a velocidade máxima vertical de uma boia. Vamos usar as relações clássicas de ondas harmônicas:
  1. T = \frac{2\pi}{\omega} e \lambda = \frac{2\pi}{k}.
  2. k é dado, e f = \frac{\omega}{2\pi}.
  3. velocidade de fase v = \frac{\omega}{k}.
  4. velocidade vertical máxima de um ponto fixo é v_{\max}=A\,\omega.

Passo 2

Para (b) o período
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{6,20\;\mathrm{rad/s}}\approx1{,}01\;\mathrm{s},
e a crista viaja nesse tempo a distância de uma onda, ou seja
\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{0,410\;\mathrm{rad/cm}}\approx15{,}3\;\mathrm{cm}.

Passo 3

Ainda em (b), o número de onda é
k = 0{,}410\;\mathrm{rad/cm}
(e em unidades métricas k=0,410\times100=41{,}0\;\mathrm{rad/m}),
e a frequência de passagens por segundo é
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{6,20}{2\pi}\approx0{,}987\;\mathrm{Hz}.

Passo 4

Em (c), a velocidade de fase da crista é
v = \frac{\omega}{k} = \frac{6,20\;\mathrm{rad/s}}{0,410\;\mathrm{rad/cm}}\approx15{,}1\;\mathrm{cm/s}\;(0{,}151\;\mathrm{m/s}),
e a velocidade máxima vertical da boia (num ponto fixo) é
v_{\max}=A\,\omega = (2{,}75\;\mathrm{cm})\times(6,20\;\mathrm{rad/s})\approx17{,}1\;\mathrm{cm/s}\;(0{,}171\;\mathrm{m/s}).

Resposta

(b) T\approx1{,}01\;\mathrm{s}, distância \lambda\approx15{,}3\;\mathrm{cm}.
(b) k=0{,}410\;\mathrm{rad/cm} (ou 41{,}0\;\mathrm{rad/m}), f\approx0{,}987\;\mathrm{Hz}.
(c) v\approx15{,}1\;\mathrm{cm/s}\;(0{,}151\;\mathrm{m/s}), v_{\max}\approx17{,}1\;\mathrm{cm/s}\;(0{,}171\;\mathrm{m/s}).

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