Uma força atua sobre uma partícula e a desloca (3,00 \mathrm{i}+4,00 \mathrm{j}) \mathrm{m}. Qual a variação da energia cinética?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a variação da energia cinética quando uma força atua sobre uma partícula que sofre um deslocamento \Delta \vec{r} = (3,00\,\mathbf{i} + 4,00\,\mathbf{j})\\ \mathrm{m}.\n
Informações dadas:
\Delta \vec{r} = 3{,}00\,\mathbf{i} + 4{,}00\,\mathbf{j}\quad(\mathrm{m}).
O enunciado não especifica os componentes numéricos da força \vec{F}. Portanto só podemos dar a variação da energia cinética em termos das componentes da força (ou calcular um valor numérico se eu soubesse \vec{F}).

Passo 2

Conceito-chave (aula rápida e prática): teorema trabalho-energia.\n
O teorema trabalho-energia diz que a variação da energia cinética \Delta K de uma partícula é igual ao trabalho total W realizado sobre ela:
\Delta K = W.
Definição de trabalho quando uma força age ao longo de um deslocamento: se a força for \vec{F} e o deslocamento for \Delta \vec{r},
W = \int_{\vec r_i}^{\vec r_f} \vec{F}\cdot d\vec{r}.
Explicação prática: \vec{F}\cdot d\vec{r} é o produto escalar entre força e deslocamento infinitesimal; ele mede só a componente da força na direção do deslocamento (que realmente produz trabalho).

Passo 3

Caso simples e muito usado em prova: se a força \vec{F} for constante durante o deslocamento, o trabalho simplifica para o produto escalar entre a força e o deslocamento total:
W = \vec{F}\cdot\Delta\vec{r}.
Lembrete sobre produto escalar em componentes: se \vec{F} = F_x\,\mathbf{i} + F_y\,\mathbf{j} e \Delta\vec{r} = \Delta x\,\mathbf{i} + \Delta y\,\mathbf{j}, então
\vec{F}\cdot\Delta\vec{r} = F_x\Delta x + F_y\Delta y.
Unidades: F_x e F_y em newtons ( \mathrm{N}), \Delta x e \Delta y em metros ( \mathrm{m}), então W em joules ( \mathrm{J}).

Passo 4

Aplicando ao nosso deslocamento \Delta \vec{r} = 3{,}00\,\mathbf{i} + 4{,}00\,\mathbf{j} e escrevendo a força em componentes \vec{F}=F_x\,\mathbf{i}+F_y\,\mathbf{j}, obtemos:
\Delta K = W = \vec{F}\cdot\Delta\vec{r} = F_x\cdot 3{,}00 + F_y\cdot 4{,}00.
Expliquei cada termo: F_x é a componente da força na direção \mathbf{i} (eixo x), F_y é a componente na direção \mathbf{j} (eixo y); multiplicamos cada componente pela correspondente componente do deslocamento e somamos.

Passo 5

Exemplo numérico (para treinar): se \vec{F}= (2{,}00\,\mathbf{i}+1{,}50\,\mathbf{j})\\ \mathrm{N}, então
\Delta K = 2{,}00\cdot 3{,}00 + 1{,}50\cdot 4{,}00 = 6{,}00 + 6{,}00 = 12{,}00\\ \mathrm{J}.
Isso mostra na prática como substituir os componentes e calcular um número.

Passo 6

Dicas de prova e erros comuns:
  • Sempre verifique se a força é constante. Se não for, precisa integrar \int \vec F\cdot d\vec r.
  • Atenção ao sinal: se a componente da força for oposta ao deslocamento, aquela parcela dá trabalho negativo (reduz a energia cinética).
  • Não esqueça unidades: 1\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}=1\\ \mathrm{J}.
  • Se lhe der apenas uma força na forma de módulo e ângulo, transforme para componentes com \;F_x = F\cos\theta,\;F_y = F\sin\theta antes de fazer o produto escalar.

Resposta

\displaystyle \Delta K = 3{,}00\,F_x + 4{,}00\,F_y\\ \mathrm{J}

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