Uma onda eletromagnética plana e monocromática propaga-se no vácuo e possui comprimento de onda \lambda=500 \mathrm{~nm}. O módulo do vetor número de onda dessa onda é dado por
Escolha uma opção:
◯ a. \quad k=\frac{\pi}{500} \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{nm}}
◯ b. \mathrm{k}=250 \pi \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{nm}}
◯ C. \mathrm{K}=\frac{\pi}{250} \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{nm}}
◯ d. \mathrm{K}=500 \pi \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{nm}}

Passo 1

O enunciado dá uma onda eletromagnética plana e monocromática no vácuo com comprimento de onda \lambda=500\\ \mathrm{nm}. A pergunta é: qual é o módulo do vetor número de onda (ou seja, o valor de k) dessa onda, escolhendo entre as opções fornecidas.
Informações relevantes:
  • Comprimento de onda: \lambda=500\\ \mathrm{nm}.
  • Pede-se o módulo do vetor número de onda k, em unidades de \mathrm{rad}/\mathrm{nm}.

Passo 2

Explicando o que é o número de onda e qual fórmula usar (passo-a-passo didático). O número de onda é uma medida de quantas oscilações cabem por unidade de comprimento e está relacionado com a fase da onda. Para uma onda monocromática no vácuo vale a relação padrão:
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Nessa fórmula:
  • \,k é o módulo do vetor número de onda, medido em \mathrm{rad} por unidade de comprimento;
  • \lambda é o comprimento de onda, na mesma unidade de comprimento que se quer usar para k (aqui queremos \mathrm{nm});
  • o fator 2\pi aparece porque o número de onda conta radians por comprimento (uma oscilação completa corresponde a 2\pi radianos).

Passo 3

Substituir o valor numérico de \lambda na fórmula e cuidar das unidades. Temos \lambda=500\\ \mathrm{nm}, então:
k=\frac{2\pi}{500\\ \mathrm{nm}}=\frac{2\pi}{500}\\ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{nm}}.

Passo 4

Simplificar a fração \dfrac{2\pi}{500}. Dividindo numerador e denominador por 2 obtém-se:
\frac{2\pi}{500}=\frac{\pi}{250}.
Logo
k=\frac{\pi}{250}\\ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{nm}}.

Passo 5

Comparando com as opções dadas, a que coincide exatamente com o resultado encontrado é a opção C, que apresenta \mathrm{K}=\dfrac{\pi}{250}\\ \dfrac{\mathrm{rad}}{\mathrm{nm}}.

Resposta

c. \displaystyle \mathrm{K}=\frac{\pi}{250}\\ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{nm}}

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