Utilize o teorema de Stokes em uma superfície fechada, com o auxílio do teorema de Gauss, para mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
onde
é um volume do espaço com fronteira fechada
(superfície orientada) e
é um campo vetorial suficientemente suave (por exemplo
em
).
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- o integrando é
; -
é um volume com fronteira (fechada); - é pedido provar que a integral do volume é zero, usando o teorema de Stokes e o teorema da divergência (Gauss).
Passo 2
Lembrar e aplicar o teorema da divergência (teorema de Gauss). O teorema diz que, para um campo vetorial
suficientemente suave em
,
onde
é o vetor normal unitário exterior à superfície
e
é o elemento de área.
Aqui tomamos . Substituindo obtemos (igualdade válida porque
tem divergência bem definida)
Aqui tomamos
Explicação rápida do que cada símbolo significa:
-
é a divergência — mede a taxa líquida de fluxo saindo por unidade de volume; -
é o rotor (curl) de — mede a tendência local de rotação do campo ; - a integral de volume passa à integral de fluxo na superfície pela fórmula acima.
Passo 3
Recordar o teorema de Stokes (forma clássica). Para uma superfície orientada
com fronteira
e para um campo vetorial
suave,
onde
é a integral de linha de
ao longo da curva fechado
com orientação compatível com
. Intuição: integração do rotor numa superfície mede a circulação de
ao redor da borda dessa superfície.
Passo 4
Aplicar Stokes à superfície
. Observação importante:
é uma superfície fechada (isto é, não tem borda): a fronteira de
é vazia,
. Pelo teorema de Stokes, para uma superfície sem borda a integral de linha associada é sobre um conjunto vazio, portanto vale zero. Mais formalmente, tomando
na identidade de Stokes,
Como
, a integral de linha no lado direito é zero, logo
Comentário prático: se preferir uma justificativa geométrica, pode-se também decompor a superfície fechada em várias fatias com bordas interiores que se cancelam duas a duas; as integrais de linha nas bordas se cancelam, resultando em soma zero.
Passo 5
Juntando os resultados dos passos anteriores: pela aplicação do teorema de Gauss (Passo 2) temos
e pelo teorema de Stokes aplicado à superfície fechada
(Passo 4) a integral à direita é zero. Portanto
Passo 6
Complemento didático (identidade diferencial ponto a ponto). Além do argumento integral acima, existe uma demonstração local usando componentes: escrevendo
em coordenadas cartesianas e assumindo derivadas parciais contínuas de segunda ordem, as derivadas se cancelam por simetria, o que dá identidade ponto a ponto
logo a integral sobre qualquer volume do domínio é zero. Essa demonstração local usa a antissimetria do operador rotor e a simetria das derivadas parciais mistas (teorema de Schwarz).