Utilize o teorema de Stokes em uma superfície fechada, com o auxílio do teorema de Gauss, para mostrar que
\int_{V} \vec{\nabla} \cdot(\vec{\nabla} \times A) d V=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\int_{V} \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times A)\,dV=0,
onde V é um volume do espaço com fronteira fechada \partial V (superfície orientada) e A é um campo vetorial suficientemente suave (por exemplo A\in C^{2} em V\cup\partial V).
Informações dadas que vamos usar:
  • o integrando é \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times A);
  • V é um volume com fronteira \partial V (fechada);
  • é pedido provar que a integral do volume é zero, usando o teorema de Stokes e o teorema da divergência (Gauss).

Passo 2

Lembrar e aplicar o teorema da divergência (teorema de Gauss). O teorema diz que, para um campo vetorial \vec{F} suficientemente suave em V,
\int_{V} \vec{\nabla}\cdot\vec{F}\,dV=\int_{\partial V}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS,
onde \hat{n} é o vetor normal unitário exterior à superfície \partial V e dS é o elemento de área.
Aqui tomamos \vec{F}=\vec{\nabla}\times A. Substituindo obtemos (igualdade válida porque \vec{\nabla}\times A tem divergência bem definida)
\int_{V} \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times A)\,dV=\int_{\partial V}(\vec{\nabla}\times A)\cdot\hat{n}\,dS.
Explicação rápida do que cada símbolo significa:
  • \vec{\nabla}\cdot(\cdot) é a divergência — mede a taxa líquida de fluxo saindo por unidade de volume;
  • \vec{\nabla}\times A é o rotor (curl) de A — mede a tendência local de rotação do campo A;
  • a integral de volume passa à integral de fluxo na superfície pela fórmula acima.

Passo 3

Recordar o teorema de Stokes (forma clássica). Para uma superfície orientada \Sigma com fronteira \partial\Sigma e para um campo vetorial A suave,
\int_{\Sigma}(\vec{\nabla}\times A)\cdot\hat{n}\,dS=\oint_{\partial\Sigma}A\cdot d\vec{r},
onde \oint_{\partial\Sigma}A\cdot d\vec{r} é a integral de linha de A ao longo da curva fechado \partial\Sigma com orientação compatível com \hat{n}. Intuição: integração do rotor numa superfície mede a circulação de A ao redor da borda dessa superfície.

Passo 4

Aplicar Stokes à superfície \Sigma=\partial V. Observação importante: \partial V é uma superfície fechada (isto é, não tem borda): a fronteira de \partial V é vazia, \partial(\partial V)=\varnothing. Pelo teorema de Stokes, para uma superfície sem borda a integral de linha associada é sobre um conjunto vazio, portanto vale zero. Mais formalmente, tomando \Sigma=\partial V na identidade de Stokes,
\int_{\partial V}(\vec{\nabla}\times A)\cdot\hat{n}\,dS=\oint_{\partial(\partial V)}A\cdot d\vec{r}.
Como \partial(\partial V)=\varnothing, a integral de linha no lado direito é zero, logo
\int_{\partial V}(\vec{\nabla}\times A)\cdot\hat{n}\,dS=0.
Comentário prático: se preferir uma justificativa geométrica, pode-se também decompor a superfície fechada em várias fatias com bordas interiores que se cancelam duas a duas; as integrais de linha nas bordas se cancelam, resultando em soma zero.

Passo 5

Juntando os resultados dos passos anteriores: pela aplicação do teorema de Gauss (Passo 2) temos
\int_{V}\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times A)\,dV=\int_{\partial V}(\vec{\nabla}\times A)\cdot\hat{n}\,dS,
e pelo teorema de Stokes aplicado à superfície fechada \partial V (Passo 4) a integral à direita é zero. Portanto
\int_{V}\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times A)\,dV=0.

Passo 6

Complemento didático (identidade diferencial ponto a ponto). Além do argumento integral acima, existe uma demonstração local usando componentes: escrevendo \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times A) em coordenadas cartesianas e assumindo derivadas parciais contínuas de segunda ordem, as derivadas se cancelam por simetria, o que dá identidade ponto a ponto
\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times A)=0\quad\text{em todo ponto do domínio},í
logo a integral sobre qualquer volume do domínio é zero. Essa demonstração local usa a antissimetria do operador rotor e a simetria das derivadas parciais mistas (teorema de Schwarz).

Resposta

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