Dado o campo vetorial
, determine o fluxo desse vetor através da superfície definida pelas condições,
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede o fluxo desse vetor através da superfície definida por
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A superfície é o plano horizontal
limitado pelo retângulo em e . - Os intervalos são
e . - O campo vetorial tem componentes
, e . - O que se pede: o fluxo do campo através dessa superfície (ou seja, a integral de superfície do produto escalar entre
e o versor normal).
Passo 2
O que é fluxo e qual fórmula usamos.
O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
orientada por um versor normal unitário
é dado por
Explicando cada coisa:
-
é o fluxo (um número). -
é o produto escalar entre o vetor do campo e o vetor normal da superfície em cada ponto (isso dá a componente do campo que atravessa a superfície). -
é o elemento de área infinitesimal da superfície.
Na prática, para uma superfície plana horizontal fica simples:é e pode ser escrito em coordenadas como .
Passo 3
Escolha do versor normal.
A superfície é o plano
. O versor normal unitário para um plano horizontal é
(apontando para cima) ou
(apontando para baixo). Quando o enunciado não especifica a orientação, é comum escolher a orientação positiva no sentido
. Aqui vou assumir
. (Se alguém quiser a orientação oposta, o resultado só troca de sinal.)
Passo 4
Avaliar
sobre a superfície
.
O componente do campo na direção
é
. Avaliando o campo na superfície significa simplesmente pegar
nas componentes quando necessário; neste caso
não depende de
, então em
temos ainda
.
O produto escalar com
é
Passo 5
Escrever a integral de fluxo como integral dupla em
e
.
Como a superfície é plana e parametrizada por
com
e
, o elemento de área é
. Assim
Passo 6
Calcular a integral passo a passo.
Primeiro integraremos em
:
Logo a integral fica
Agora integrar em
:
Multiplicando:
Passo 7
Observações finais e interpretação.
- O valor positivo
corresponde ao fluxo saindo para o sentido escolhido de . Se a orientação fosse a normal para baixo ( ), o fluxo seria . - Em problemas de prova, sempre verifique qual orientação é pedida; se não for pedida, explique qual foi escolhida (como fiz aqui).