Dado o campo vetorial \vec{A}=x^{2} \hat{a}_{x}+y z \hat{a}_{y}+x y \hat{a}_{z}, determine o fluxo desse vetor através da superfície definida pelas condições, \{z=4,0 \leq x \leq 3,1 \leq y \leq 2\}.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{A}=x^{2}\,\hat{a}_{x}+y z\,\hat{a}_{y}+x y\,\hat{a}_{z} e pede o fluxo desse vetor através da superfície definida por \{z=4,\;0\le x\le 3,\;1\le y\le 2\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície é o plano horizontal \,z=4\, limitado pelo retângulo em x e y.
  • Os intervalos são x\in[0,3] e y\in[1,2].
  • O campo vetorial tem componentes A_x=x^{2}, A_y=y z e A_z=x y.
  • O que se pede: o fluxo do campo através dessa superfície (ou seja, a integral de superfície do produto escalar entre \vec{A} e o versor normal).

Passo 2

O que é fluxo e qual fórmula usamos.
O fluxo de um campo vetorial \vec{A} através de uma superfície S orientada por um versor normal unitário \hat{n} é dado por
\Phi=\iint_{S}\vec{A}\cdot\hat{n}\,dS.
Explicando cada coisa:
  • \Phi é o fluxo (um número).
  • \vec{A}\cdot\hat{n} é o produto escalar entre o vetor do campo e o vetor normal da superfície em cada ponto (isso dá a componente do campo que atravessa a superfície).
  • dS é o elemento de área infinitesimal da superfície.
    Na prática, para uma superfície plana horizontal fica simples: \hat{n} é \pm\hat{a}_z e dS pode ser escrito em coordenadas x,y como dx\,dy.

Passo 3

Escolha do versor normal.
A superfície é o plano z=4. O versor normal unitário para um plano horizontal é \hat{a}_z (apontando para cima) ou -\hat{a}_z (apontando para baixo). Quando o enunciado não especifica a orientação, é comum escolher a orientação positiva no sentido +z. Aqui vou assumir \hat{n}=\hat{a}_z. (Se alguém quiser a orientação oposta, o resultado só troca de sinal.)

Passo 4

Avaliar \vec{A}\cdot\hat{n} sobre a superfície z=4.
O componente do campo na direção \hat{a}_z é A_z= x y. Avaliando o campo na superfície significa simplesmente pegar z=4 nas componentes quando necessário; neste caso A_z não depende de z, então em z=4 temos ainda A_z=x y.
O produto escalar com \hat{n}=\hat{a}_z é
\vec{A}\cdot\hat{n}= \vec{A}\cdot\hat{a}_z = A_z = x y.

Passo 5

Escrever a integral de fluxo como integral dupla em x e y.
Como a superfície é plana e parametrizada por (x,y) com x\in[0,3] e y\in[1,2], o elemento de área é dS=dx\,dy. Assim
\Phi=\iint_{S}\vec{A}\cdot\hat{n}\,dS=\int_{x=0}^{3}\int_{y=1}^{2} x y \,dy\,dx.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo.
Primeiro integraremos em y:
\int_{y=1}^{2} y \,dy = \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{1}^{2} = \frac{2^{2}-1^{2}}{2} = \frac{4-1}{2} = \frac{3}{2}.
Logo a integral fica
\Phi=\int_{0}^{3} x\left(\frac{3}{2}\right)\,dx = \frac{3}{2}\int_{0}^{3} x\,dx.
Agora integrar em x:
\int_{0}^{3} x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{3} = \frac{3^{2}}{2} = \frac{9}{2}.
Multiplicando:
\Phi=\frac{3}{2}\cdot\frac{9}{2}=\frac{27}{4}.

Passo 7

Observações finais e interpretação.
  • O valor positivo \dfrac{27}{4} corresponde ao fluxo saindo para o sentido escolhido de \hat{n}=\hat{a}_z. Se a orientação fosse a normal para baixo ( -\hat{a}_z), o fluxo seria -\dfrac{27}{4}.
  • Em problemas de prova, sempre verifique qual orientação é pedida; se não for pedida, explique qual foi escolhida (como fiz aqui).

Resposta

\dfrac{27}{4}

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