Uma onda eletromagnética plana se propaga no vácuo, na direção z e seu campo elétrico oscila na direção x. A partir da lei de Faraday, obtenha a relação entre as amplitudes E0, B0 e a velocidade da luz c.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma onda eletromagnética plana no vácuo que viaja ao longo de , com o campo elétrico oscilando em . A tarefa é usar a lei de Faraday (uma das equações de Maxwell) para achar como as amplitudes , e a velocidade da luz se relacionam.
Conteúdo: equação de Maxwell–Faraday , ondas planas e relação de dispersão .

Passo 2

Primeiro, escrevemos as formas usuais para uma onda plana no vácuo:
E(z,t) = E0,cos(kz - omega t),x, B(z,t) = B0,cos(kz - omega t),y
Aqui é o número de onda e é a frequência angular.

Passo 3

A lei de Faraday diz:
nabla times E = -partial Bpartial t
Isso relaciona a “rotação” espacial do campo elétrico à variação temporal do campo magnético.

Passo 4

Calculemos o rotacional de (nablatimes E)y = partial Expartial z = partialpartial zl[E0cos(kz - omega t)r] = -,k E0sin(kz - omega t) . Como só tem componente em e depende só de , a única componente não-nula é

Passo 5

Agora a derivada temporal de partial Bypartial t = partialpartial tl[B0cos(kz - omega t)r] = +,omega B0sin(kz - omega t)times(-1) = -,omega B0sin(kz - omega t) . Como -partial Bypartial t = +,omega B0sin(kz - omega t) só tem componente em :
Então

Passo 6

Igualando as duas expressões pela lei de Faraday (componente -,k E0sin(kz - omega t) ;=; +;omega B0sin(kz - omega t) ):
k,E0 = omega,B0
Cancelando c = omegak (que não é sempre zero), sobra
E0 = omegak;B0 = c,B0
E no vácuo a gente sabe que
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Resposta

A relação entre as amplitudes é
boxedE0 = c,B0

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