Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de 0,15 \mathrm{~m} de raio está sendo descarregado. Um anel de 0.25 m de raio, concêntrico com o capacitor, está a meio caminho entre as placas. A corrente de deslocamento através do anel é 1,0 \mathrm{~A}. Qual é a taxa de variação do campo elétrico entre as placas?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Placas paralelas circulares do capacitor com raio \,r_{\text{placa}}=0,15\\ \mathrm{m}.
  • Um anel concêntrico ao capacitor com raio \,r_{\text{anel}}=0,25\\ \mathrm{m} encontra-se a meio caminho entre as placas.
  • A corrente de deslocamento através do anel é \,I_d=1,0\\ \mathrm{A}.
    O que se pede: encontrar a taxa de variação do campo elétrico entre as placas, ou seja \dfrac{dE}{dt}.

Passo 2

Conceito que vamos usar (aulas rápidas): Maxwell introduziu a ideia de corrente de deslocamento para completar a Lei de Ampère. A corrente de deslocamento associada a um campo elétrico variável é dada por
I_d=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt},
onde:
  • \,I_d é a corrente de deslocamento (em ampères),
  • \,\varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}),
  • \,\Phi_E é o fluxo elétrico através da superfície limitada pelo contorno onde se mede a corrente de deslocamento, e \dfrac{d\Phi_E}{dt} é sua taxa de variação no tempo.
Explicando em miúdos: a corrente de deslocamento mede como o fluxo do campo elétrico que atravessa uma superfície está mudando com o tempo; isso age como se fosse uma “corrente” mesmo quando não há portadores reais passando pelo local (por exemplo, no espaço entre placas do capacitor).

Passo 3

Expressão do fluxo elétrico e aproximação usada:
\Phi_E=\iint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}.
Aqui assumimos (aproximação usual para placas paralelas bem alinhadas) que o campo elétrico entre as placas é aproximadamente uniforme sobre a área das placas e praticamente nulo fora da região das placas (desprezando efeitos de fringe). O anel tem raio maior que o raio das placas ( r_{\text{anel}}>r_{\text{placa}}), logo a superfície limitada pelo anel engloba toda a área das placas; portanto o fluxo através dessa superfície é o mesmo fluxo através da área da placa. Assim:
\Phi_E = E\cdot A_{\text{placa}},
onde \,A_{\text{placa}}=\pi r_{\text{placa}}^{2}.

Passo 4

Relacionando \,I_d com \dfrac{dE}{dt}:
I_d=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}=\varepsilon_0\frac{d}{dt}\bigl(E\cdot A_{\text{placa}}\bigr) =\varepsilon_0 A_{\text{placa}}\frac{dE}{dt},
porque \,A_{\text{placa}} é constante no tempo. Isolando \dfrac{dE}{dt}:
\frac{dE}{dt}=\frac{I_d}{\varepsilon_0 A_{\text{placa}}}.

Passo 5

Calcular a área da placa passo a passo:
A_{\text{placa}}=\pi r_{\text{placa}}^{2} =\pi\,(0,15)^{2} =\pi\cdot0,0225 \approx0,0706858\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 6

Calcular \varepsilon_0 A_{\text{placa}} e em seguida \dfrac{dE}{dt}:
\varepsilon_0 A_{\text{placa}} =(8{,}854\times10^{-12})\times(0,0706858) \approx6{,}26\times10^{-13}\\ \mathrm{F\cdot m^{-1}}.
Logo
\frac{dE}{dt}=\frac{I_d}{\varepsilon_0 A_{\text{placa}}} =\frac{1{,}0}{6{,}26\times10^{-13}} \approx1{,}60\times10^{12}\\ \mathrm{V\;m^{-1}\;s^{-1}}.

Passo 7

Interpretação e ressalvas: o valor acima presume que o campo entre as placas é uniforme e que o fluxo relevante passa apenas pela área circular das placas (ou seja, desprezou-se fringing). Essas são aproximações padrão em problemas de capacitor de placas paralelas e são apropriadas aqui dado que o enunciado dá raios claros e pede a taxa de variação do campo.

Resposta

1{,}60\times10^{12}\\ \mathrm{V\,m^{-1}\,s^{-1}}

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