Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de
de raio está sendo descarregado. Um anel de 0.25 m de raio, concêntrico com o capacitor, está a meio caminho entre as placas. A corrente de deslocamento através do anel é
. Qual é a taxa de variação do campo elétrico entre as placas?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- Placas paralelas circulares do capacitor com raio
. - Um anel concêntrico ao capacitor com raio
encontra-se a meio caminho entre as placas. - A corrente de deslocamento através do anel é
.
O que se pede: encontrar a taxa de variação do campo elétrico entre as placas, ou seja.
Passo 2
Conceito que vamos usar (aulas rápidas): Maxwell introduziu a ideia de corrente de deslocamento para completar a Lei de Ampère. A corrente de deslocamento associada a um campo elétrico variável é dada por
onde:
-
é a corrente de deslocamento (em ampères), -
é a permissividade do vácuo ( ), -
é o fluxo elétrico através da superfície limitada pelo contorno onde se mede a corrente de deslocamento, e é sua taxa de variação no tempo.
Explicando em miúdos: a corrente de deslocamento mede como o fluxo do campo elétrico que atravessa uma superfície está mudando com o tempo; isso age como se fosse uma “corrente” mesmo quando não há portadores reais passando pelo local (por exemplo, no espaço entre placas do capacitor).
Passo 3
Expressão do fluxo elétrico e aproximação usada:
Aqui assumimos (aproximação usual para placas paralelas bem alinhadas) que o campo elétrico entre as placas é aproximadamente uniforme sobre a área das placas e praticamente nulo fora da região das placas (desprezando efeitos de fringe). O anel tem raio maior que o raio das placas (
), logo a superfície limitada pelo anel engloba toda a área das placas; portanto o fluxo através dessa superfície é o mesmo fluxo através da área da placa. Assim:
onde
.
Passo 4
Relacionando
com
:
porque
é constante no tempo. Isolando
:
Passo 5
Calcular a área da placa passo a passo:
Passo 6
Calcular
e em seguida
:
Logo
Passo 7
Interpretação e ressalvas: o valor acima presume que o campo entre as placas é uniforme e que o fluxo relevante passa apenas pela área circular das placas (ou seja, desprezou-se fringing). Essas são aproximações padrão em problemas de capacitor de placas paralelas e são apropriadas aqui dado que o enunciado dá raios claros e pede a taxa de variação do campo.