Uma onda eletromagnética polarizada de frequência angular omega e número de onda k se propaga no vácuo, ou seja, sem carga ou corrente elétrica. O vetor campo magnético possui amplitude Bm e, em determinado instante, possui os seguintes componentes:
Bx=0 ; By=Bm sen(k x-omega t) ; Bz=0
A partir da equação de Ampère-Maxwell nabla times B=mu0 epsilon0 partial Epartial t encontre as componentes do vetor campo elétrico.

Passo 1

Beleza, então temos uma onda eletromagnética no vácuo, com frequência angular vec B = (0,;Bmsen(kx - omega t),;0) e número de onda vecnablatimes vec B ;=;mu0epsilon0,partial vec Epartial t, . O campo magnético é dado por
O que precisamos? Resolver a lei de Ampère–Maxwell no vácuo, que é
e daí achar . Vamos usar cálculo vetorial passo a passo e as relações de onda no vácuo ( e ).

Passo 2

Primeiro, lembrando a definição de rotacional em coordenadas cartesianas:
[
\vec\nabla\times \vec B

vecnablatimes vec B = hat ex & hat ey & hat ez partialx & partialy & partialz Bx & By & Bz = l(partialy Bz - partialz By,;partialz Bx - partialx Bz,;partialx By - partialy Bxr)

\Bigl(\partial_y B_z - \partial_z B_y,;\partial_z B_x - \partial_x B_z,;\partial_x B_y - \partial_y B_x\Bigr).
]
No nosso caso vecnablatimes vec B = (0,;0,;Bm,kcos(kx-omega t)) , , . Então:
  • (não depende de )
  • todas as outras derivadas são zero.
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Passo 3

Agora aplicamos Ampère–Maxwell:
vecnablatimes vec B ;=; mu0epsilon0,partial vec Epartial t
Como o lado esquerdo só tem componente mu0epsilon0,partial Expartial t=0, mu0epsilon0,partial Eypartial t=0, mu0epsilon0,partial Ezpartial t = Bm,kcos(kx-omega t) , só é não-zero. Então

Passo 4

Daí
partial Ezpartial t = Bm,kmu0epsilon0,cos(kx-omega t)
Integramos em Ez(x,t) = integral Bm,kmu0epsilon0,cos(kx-omega t),dt = Bm,kmu0epsilon0,l(-1omegar)sen(kx-omega t) + constante :
A constante podemos zerar porque queremos uma onda pura.

Passo 5

Usamos duas relações do vácuo:
Ez(x,t) = -,Bm,kmu0epsilon0,omega,sen(kx-omega t) = -,Bm,k(1/c^2),omega,sen(kx-omega t) = -,Bm,k,c^2omega,sen(kx-omega t) e Ez(x,t) = -,c,Bm,sen(kx-omega t) .
Então
Como , isso vira
E as outras componentes são zero.

Resposta

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