Uma onda eletromagnética polarizada de frequência angular e número de onda k se propaga no vácuo, ou seja, sem carga ou corrente elétrica. O vetor campo magnético possui amplitude e, em determinado instante, possui os seguintes componentes:
A partir da equação de Ampère-Maxwell encontre as componentes do vetor campo elétrico.
Passo 1
Beleza, então temos uma onda eletromagnética no vácuo, com frequência angular e número de onda . O campo magnético é dado por
O que precisamos? Resolver a lei de Ampère–Maxwell no vácuo, que é
e daí achar . Vamos usar cálculo vetorial passo a passo e as relações de onda no vácuo ( e ).
Passo 2
Primeiro, lembrando a definição de rotacional em coordenadas cartesianas:
[
\vec\nabla\times \vec B
No nosso caso vecnablatimes vec B = (0,;0,;Bm,kcos(kx-omega t)) , , . Então:
(não depende de )
todas as outras derivadas são zero.
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Passo 3
Agora aplicamos Ampère–Maxwell:
vecnablatimes vec B ;=; mu0epsilon0,partial vec Epartial t
Como o lado esquerdo só tem componente mu0epsilon0,partial Expartial t=0, mu0epsilon0,partial Eypartial t=0, mu0epsilon0,partial Ezpartial t = Bm,kcos(kx-omega t) , só é não-zero. Então
Passo 4
Daí
partial Ezpartial t = Bm,kmu0epsilon0,cos(kx-omega t)
Integramos em Ez(x,t) = integral Bm,kmu0epsilon0,cos(kx-omega t),dt = Bm,kmu0epsilon0,l(-1omegar)sen(kx-omega t) + constante :
A constante podemos zerar porque queremos uma onda pura.
Passo 5
Usamos duas relações do vácuo: Ez(x,t) = -,Bm,kmu0epsilon0,omega,sen(kx-omega t) = -,Bm,k(1/c^2),omega,sen(kx-omega t) = -,Bm,k,c^2omega,sen(kx-omega t) e Ez(x,t) = -,c,Bm,sen(kx-omega t) .
Então