Uma onda eletromagnética se propaga no espaço livre na direção -z e sua constante de propagação é de 30 \mathrm{rad} / \mathrm{m}. O campo \mathbf{H} tem amplitude (1 / 3 \pi) \mathrm{A} / \mathrm{m} e aponta na direção -y quando t =0 e z=0. Escreva as expressões para \mathbf{E} e H.

Passo 1

O enunciado descreve uma onda eletromagnética plana que se propaga em espaço livre na direção -z com constante de propagação \beta=30\\ \mathrm{rad/m}. O campo magnético tem amplitude
\displaystyle H_0=\frac{1}{3\pi}\\ \mathrm{A/m}
e no instante t=0 e na posição z=0 está apontando em -\hat{\mathbf{y}}.
Conteúdo: ondas planas EM em meio livre, relação entre \mathbf{E} e \mathbf{H} via impedância do vácuo \eta_0=120\pi\\ \Omega e produto vetorial \hat{n}\times\mathbf{H}.

Passo 2

Em meio livre, \beta=\omega/c. Como c=3\times10^8\\ \mathrm{m/s}, obtém-se
\omega = \beta\,c = 30\cdot(3\times10^8)=9\times10^9\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Escrevendo o campo magnético como uma onda harmônica que se propaga no sentido -z, o argumento de fase é \omega t + \beta z. Como em t=0,\,z=0 o campo aponta em -\hat{\mathbf{y}} com amplitude positiva, temos
\mathbf{H}(z,t) = -\;H_0\;\cos\bigl(\omega t + \beta z\bigr)\,\hat{\mathbf{y}} = -\frac{1}{3\pi}\,\cos\bigl(9\times10^9\,t + 30\,z\bigr)\,\hat{\mathbf{y}} \quad\mathrm{A/m}.

Passo 4

A relação entre \mathbf{E} e \mathbf{H} em ondas planas é
\mathbf{E} \;=\;\eta_0\,\hat{n}\times\mathbf{H},
onde \hat{n}=-\hat{\mathbf{z}}. Calculando o produto vetorial:
(-\hat{\mathbf{z}})\times(-\hat{\mathbf{y}}) =\hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{y}} =-\hat{\mathbf{x}}.
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\mathbf{E}(z,t) = \eta_0\,H_0\,\cos\bigl(\omega t + \beta z\bigr)\,(-\hat{\mathbf{x}}) = -\,\bigl(120\pi\cdot\tfrac{1}{3\pi}\bigr)\cos\bigl(9\times10^9\,t + 30\,z\bigr)\,\hat{\mathbf{x}} = -40\,\cos\bigl(9\times10^9\,t + 30\,z\bigr)\,\hat{\mathbf{x}} \quad\mathrm{V/m}.

Resposta

\mathbf{E}(z,t) = -40\;\cos\bigl(9\times10^9\,t + 30\,z\bigr)\,\hat{\mathbf{x}} \quad\mathrm{V/m},
\mathbf{H}(z,t) = -\frac{1}{3\pi}\;\cos\bigl(9\times10^9\,t + 30\,z\bigr)\,\hat{\mathbf{y}} \quad\mathrm{A/m}.

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