6.38 A corrente através de um indutor de 40 mH é dada por
i(t)= \begin{cases}0, & t<0 \\\ t e^{-2 t} \mathrm{~A}, & t>0\end{cases}
Determine a tensão v(t).

Passo 1

O enunciado dá uma indutância L=40\text{ mH}\) e a corrente \[i(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\\ t\,e^{-2t}\text{ A}, & t>0. \end{cases}
Pede-se a tensão (v(t)]. Para um indutor vale a lei
v(t)=L\,\frac{di(t)}{dt}.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de i(t). Para t<0, i(t)=0 é constante, logo
\frac{di}{dt}=0\quad(t<0).
Para t>0 usamos regra do produto em
i(t)=t\,e^{-2t}.
Temos
\frac{di}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(t\bigr)\,e^{-2t} + t\,\frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}\bigr) =1\cdot e^{-2t}+t\cdot(-2e^{-2t}) =e^{-2t}(1-2t).

Passo 3

Aplicando v(t)=L\,di/dt com L=40\text{ mH}=40\times10^{-3}\,\text H, obtemos
v(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\\\ 40\times10^{-3}\,e^{-2t}(1-2t)\text{ V}, & t>0. \end{cases}

Resposta

v(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\\\ 40\times10^{-3}\,e^{-2t}(1-2t)\text{ V}, & t>0. \end{cases}

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