Dada uma onda eletromagnética com frequência de 3 MHz , se propagando no cobre \left(\mu=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m}, \varepsilon=(1 / 36 \pi) \times 10^{-9} \mathrm{~F} / \mathrm{me} \sigma=5.8 \times 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m}\right..), calcular:
a) Velocidade de fase (comparar com a velocidade da onda no vácuo)
b) comprimento de onda (comparar com o comprimento de onda no vácuo)
c) Skin depth.

Solução:

Como \mathrm{f}=3 \times 10^{6} 1 / \mathrm{s}, pelo exercício anterior, o cobre é excelente condutor nessa frequência, logo, usamos as expressões deduzidas para bons condutores:
a)
\begin{aligned} & v=\sqrt{\frac{2 \omega}{\mu \sigma}}=\sqrt{\frac{2 \times 2 \pi \times 3 \times 10^{6} 1 / s}{4 \pi \times 10^{-7} H / m \times 5.8 \times 10^{7}(1 / \Omega m)}}=\sqrt{\frac{2 \times 2 \pi \times 3 \times 10^{6} 1 / s}{4 \pi \times 10^{-7} H / m \times 5.8 \times 10^{7}(1 / \Omega m)}} \\\ & \sqrt{\frac{12 \times 10^{6} 1 / s}{23.2(V s / A m)(1 / \Omega m)}} \cong 720 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned}
Vemos que é muito menor que a velocidade da onda eletromagnética no vácuo, i.e., 3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
b)
\begin{aligned} & \lambda=2 \sqrt{\frac{\pi}{f \mu \sigma}}=2 \sqrt{\frac{\pi}{3 \times 10^{6} 1 / s \times 4 \pi \times 10^{-7} H / m \times 5.8 \times 10^{7}(1 / \Omega m)}}= \\\ & 2 \sqrt{\frac{1}{6.96 \times 10^{7}(1 / s)(V s / A)(1 / m)(1 / \Omega m)}}=2.39 \times 10^{-4} \mathrm{~m} \end{aligned}
i.e. \lambda \sim 0.24 \mathrm{~mm}, comparando com o comprimento de onda no vácuo:
\lambda_{0}=\mathrm{c} / \mathrm{f}=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} / 3 \times 10^{6} 1 / \mathrm{s}=100 \mathrm{~m}.
c)
\begin{aligned} & Z_{S k}=\sqrt{\frac{1}{\pi f \mu \sigma}}=\sqrt{\frac{1}{\pi 3 \times 10^{6} 1 / s \times 4 \pi \times 10^{-7} H / m \times 5.8 \times 10^{7}(1 / \Omega m)}}= \\\ & =\sqrt{\frac{1}{6.96 \times 10^{7}(1 / s)(V s / A)(1 / m)(1 / \Omega m)}}=3.81 \times 10^{-5} \mathrm{~m} \end{aligned}
O skin depth (profundidade à qual o modulo do campo elétrico decresce a 1 / \mathrm{e} do seu valor na entrada nesse médio), \sim 0.038 \mathrm{~mm}. i.e., o médio atenua fortemente uma onda EM nessa frequência.

Passo 1

O enunciado nos dá uma onda eletromagnética de frequência f = 3\times10^{6}\,\text{s}^{-1} que se propaga no cobre, cujos parâmetros são
\mu = 4\pi\times10^{-7}\,\text{H/m},
\varepsilon = \dfrac{1}{36\pi}\times10^{-9}\,\text{F/m} e
\sigma = 5{,}8\times10^{7}\,\text{S/m}.
Vamos tratar o cobre como um bom condutor e usar as fórmulas aproximadas para esse caso:
- velocidade de fase:
v = \sqrt{\frac{2\,\omega}{\mu\,\sigma}}
- comprimento de onda:
\lambda = \frac{v}{f}
- profundidade de penetração (skin depth):
\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega\,\mu\,\sigma}}
onde \omega = 2\pi f.

Passo 2

Primeiro calculamos \omega e verificamos que o cobre é bom condutor, isto é, \sigma \gg \omega\,\varepsilon.
\omega = 2\pi f = 2\pi \times 3\times10^{6} \approx 1{,}885\times10^{7}\,\text{rad/s}
\omega\,\varepsilon = 1{,}885\times10^{7}\times\Bigl(\tfrac{1}{36\pi}\times10^{-9}\Bigr)\approx 5{,}6\times10^{-5}\,\text{S/m}
Como
\sigma = 5{,}8\times10^{7}\,\text{S/m}\gg 5{,}6\times10^{-5}\,\text{S/m},
podemos usar as fórmulas de bom condutor.

Passo 3

Agora calculamos a velocidade de fase usando
v = \sqrt{\frac{2\,\omega}{\mu\,\sigma}}
Substituindo os valores:
2\,\omega = 2\times1{,}885\times10^{7} = 3{,}770\times10^{7}, \quad \mu\,\sigma = \bigl(4\pi\times10^{-7}\bigr)\times\bigl(5{,}8\times10^{7}\bigr)\approx72{,}9
\frac{2\,\omega}{\mu\,\sigma}\approx \frac{3{,}770\times10^{7}}{72{,}9}\approx5{,}18\times10^{5}, \quad v\approx\sqrt{5{,}18\times10^{5}}\approx7{,}2\times10^{2}\,\text{m/s}.
Isso é muito menor que a velocidade no vácuo \displaystyle c=3\times10^{8}\,\text{m/s}.

Passo 4

O comprimento de onda dentro do cobre é
\lambda = \frac{v}{f} = \frac{7{,}2\times10^{2}\,\text{m/s}}{3\times10^{6}\,\text{s}^{-1}} =2{,}4\times10^{-4}\,\text{m}\approx0{,}24\,\text{mm}.
No vácuo temos
\lambda_{0} = \frac{c}{f} = \frac{3\times10^{8}\,\text{m/s}}{3\times10^{6}\,\text{s}^{-1}} = 100\,\text{m},
logo \lambda no cobre é extremamente menor que \lambda_{0}.

Passo 5

Finalmente, a skin depth é
\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega\,\mu\,\sigma}} = \sqrt{\frac{2}{1{,}885\times10^{7}\times72{,}9}} \approx\sqrt{1{,}45\times10^{-9}} \approx3{,}8\times10^{-5}\,\text{m} =0{,}038\,\text{mm}.

Resposta

a) v \approx 7,2\times10^{2}\,\text{m/s}, bem menor que 3\times10^{8}\,\text{m/s}.
b) \lambda \approx 2,4\times10^{-4}\,\text{m}, bem menor que \lambda_{0}=100\,\text{m}.
c) \delta \approx 3,8\times10^{-5}\,\text{m} ( \approx 0,038 mm).

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