Uma onda harmônica plana com \mathbf{E}=E \hat{x} se propaga na direção +z em um meio sem perdas. A permissividade relativa \varepsilon_{r}=\varepsilon / \varepsilon_{0}=4, a permeabilidade relativa \mu_{r}=\mu / \mu_{0}=1 e a frequência é de 100 MHz . Considere que E assume seu máximo valor positivo de 10^{-4} \mathrm{~V} / \mathrm{m} em t=0 e z=1 / 8 \mathrm{~m}.
a) Calcule o comprimento de onda \lambda e a velocidade de fase c.
b) Encontre as expressões para os vetores campo elétrico \mathbf{E} e campo magnético \mathbf{H}.
c) Escreva as expressões para os fasores \mathbf{E}_{s} e \mathbf{H}_{s}.

Passo 1

No enunciado, temos uma onda harmônica plana com \mathbf{E}=E\hat x se propagando em +z num meio sem perdas, com \varepsilon_r=4, \mu_r=1, f=100\text{ MHz}. Sabemos que em t=0 e z=1/8\text{ m}, E=10^{-4}\text{ V/m}. Queremos
(a) \lambda e c;
(b) expressões de \mathbf{E}(z,t) e \mathbf{H}(z,t);
(c) os fasores \mathbf{E}_s e \mathbf{H}_s.

Passo 2

No vácuo, c_0=3\times10^8\text{ m/s}. Como
c=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} =\frac{c_0}{\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}} =\frac{3\times10^8}{\sqrt{4\cdot1}} =1{,}5\times10^8\text{ m/s},
temos
\lambda=\frac{c}{f} =\frac{1{,}5\times10^8}{10^8} =1{,}5\text{ m}, \quad \omega=2\pi f=2\pi\times10^8\text{ rad/s}, \quad k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{4\pi}{3}\text{ rad/m}.

Passo 3

A forma geral do campo elétrico é
\mathbf{E}(z,t)=E_0\cos\bigl(\omega t-kz+\varphi\bigr)\,\hat x.
Em t=0, z=1/8 m, queremos \cos(-k/8+\varphi)=1. Logo
-k\frac{1}{8}+\varphi=2\pi m \quad\Longrightarrow\quad \varphi=k\frac{1}{8}=\frac{4\pi}{3}\cdot\frac{1}{8}=\frac{\pi}{6}.
Escolhendo m=0, ficamos com \varphi=\pi/6. Portanto,
\mathbf{E}(z,t) =10^{-4}\cos\Bigl(\omega t-\tfrac{4\pi}{3}z+\tfrac{\pi}{6}\Bigr)\,\hat x.

Passo 4

A impedância do meio é
\eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} =\frac{\eta_0\sqrt{\mu_r}}{\sqrt{\varepsilon_r}} =\frac{377}{2} =188{,}5\\ \Omega.
Logo a amplitude de \mathbf{H} é
H_0=\frac{E_0}{\eta} =\frac{10^{-4}}{188{,}5} \approx5{,}30\times10^{-7}\text{ A/m}.
Como \mathbf{E}\times\mathbf{H} aponta para +z, \mathbf{H} está em \hat y:
\mathbf{H}(z,t) =5{,}30\times10^{-7} \cos\Bigl(\omega t-\tfrac{4\pi}{3}z+\tfrac{\pi}{6}\Bigr)\,\hat y.

Passo 5

Os fasores são os complexos que retiram o fator \cos(\dots)\to e^{j(\dots)}. Assim,
\mathbf{E}_s =E_0e^{j\varphi}\,\hat x =10^{-4}e^{j\pi/6}\,\hat x, \qquad \mathbf{H}_s =H_0e^{j\varphi}\,\hat y =5{,}30\times10^{-7}e^{j\pi/6}\,\hat y.

Resposta

(a) \lambda=1{,}5\text{ m}, c=1{,}5\times10^8\text{ m/s}
(b) \displaystyle \mathbf{E}(z,t)=10^{-4}\cos\!\bigl(\omega t-\tfrac{4\pi}{3}z+\tfrac{\pi}{6}\bigr)\hat x,
\displaystyle \mathbf{H}(z,t)=5{,}30\times10^{-7}\cos\!\bigl(\omega t-\tfrac{4\pi}{3}z+\tfrac{\pi}{6}\bigr)\hat y
(c) \mathbf{E}_s=10^{-4}e^{j\pi/6}\hat x, \mathbf{H}_s=5{,}30\times10^{-7}e^{j\pi/6}\hat y

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