Uma onda eletromagnética no vácuo é descrita pelas equações:
E(x, y, z, t)=(300 V / m) cos (k z-omega t) i B(x, y, z, t)=B0 cos (k z-omega t) j
onde:
  • k=2m rad/m;
  • omega=6 pi times 10^wed>= 8 rad / s. Determine: Escreva a intensidade média da onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre ondas eletromagnéticas no vácuo. A gente precisa encontrar a intensidade média da onda usando as equações dadas para os campos elétrico $ E $ e magnético $ B $. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a intensidade de uma onda eletromagnética e usar algumas fórmulas fundamentais da física.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é intensidade em uma onda eletromagnética. A intensidade ($ I I áá \vec{S} $), que indica a direção e a intensidade do fluxo de energia da onda.
A fórmula do vetor de Poynting é:
S
onde:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $)
  • $ \vec{E} $ é o campo elétrico
  • $ \vec{B} $ é o campo magnético
A intensidade média ($ I $) da onda é o valor médio do vetor de Poynting ao longo de um ciclo completo da onda:
S = 1mu0 , E times B

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto dos campos elétrico e magnético. As equações dadas são:
E(x, y, z, t) = (300 , V/m) cos(k z - omega t) , i B(x, y, z, t) = B0 cos(k z - omega t) , j
O produto $ \vec{E} \times \vec{B} $ dará um vetor na direção $ \hat{k} $:
E times B

Passo 4

Substituindo no vetor de Poynting:
S = 1mu0 times 300 B0 cos^2(k z - omega t) , k
Para encontrar a intensidade média, precisamos calcular a média de $ \cos^2(k z - \omega t) $ ao longo do tempo, que é $ \frac{1}{2} $. Então:
cos^2(k z - omega t)

Passo 5

Agora, precisamos relacionar $ E_0 $ e $ B_0 $. Para ondas eletromagnéticas no vácuo, a relação entre esses campos é:
E0
onde $ c $ é a velocidade da luz no vácuo ($ c \approx 3 \times 10^8 , m/s $).
Resolvendo para $ B_0 $:
B0

Passo 6

Substituindo $ B_0 $ na fórmula da intensidade:
B0
Simplificando:
I = 300 times 1 times 10^-6 , T2 times 4pi times 10^-7 , Tcdotm/A = 300 times 10^-68pi times 10^-7 , W/m^2
I = 3008pi times 10^-610^-7 , W/m^2 = 3008pi times 10 , W/m^2

Resposta

A intensidade média da onda eletromagnética é aproximadamente 119,37 W/m².

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